Considere a seguinte função
dada por
Determine o núcleo e a imagem de
.
Determine o núcleo e a imagem de
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
por
Queremos encontrar o núcleo de
(conjunto de matrizes que vão em zero) e a imagem de
(subespaço de
formado pelas saídas).
Passo 2
Para achar o núcleo, usamos a definição
Seja .
Temos
Temos
Logo todas as matrizes no núcleo são da forma
com
.
Passo 3
Para a imagem, note que
Como as outras colunas (correspondentes a
e
) não aparecem em
, a imagem é o subespaço gerado por
e
. Em particular,
Resposta
O núcleo e a imagem de
são: