Considere a seguinte função T: M(2) R^3 dada por T([lla & b c & d])=(2 b, 0,3 d)
Determine o núcleo e a imagem de T.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
;T: M(2)toR^3
por
Tl(a & b c & dr) ;=;(2b,,0,,3d)
Queremos encontrar o núcleo de T (conjunto de matrizes que vão em zero) e a imagem de T (subespaço de R^3 formado pelas saídas).

Passo 2

Para achar o núcleo, usamos a definição
Seja .
Temos
Logo todas as matrizes no núcleo são da forma
com .

Passo 3

Para a imagem, note que
Como as outras colunas (correspondentes a e ) não aparecem em , a imagem é o subespaço gerado por e . Em particular,

Resposta

O núcleo e a imagem de são:

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