Considerando um organismo que segue a cinética de Monod, com \mathrm{K}_{\mathrm{s}} de 5 \mathrm{mg} / \mathrm{L} e \mu_{\mathrm{m}} de 0,4 \mathrm{~d}^{-1}. Calcule a concentração de substrato limitante para uma velocidade específica de crescimento celular a 83% do seu máximo.

Passo 1

O enunciado trata de um microrganismo cuja cinética de crescimento segue o modelo de Monod, dado por
\mu = \mu_{m}\,\frac{S}{K_{s} + S}
onde \mu é a velocidade específica de crescimento, \mu_{m} é a taxa máxima, S é a concentração de substrato e K_{s} é a constante de semissaturação. Sabemos que K_{s}=5\,\mathrm{mg}/\mathrm{L}, \mu_{m}=0,4\,\mathrm{d}^{-1} e queremos S tal que \mu seja 83 % de \mu_{m}.

Passo 2

Definimos a fração da velocidade de crescimento desejada:
\frac{\mu}{\mu_{m}} = \frac{S}{K_{s} + S} = 0{,}83.
Substituímos na expressão de Monod e obtemos a equação a resolver:
0{,}83\,(K_{s} + S) = S.

Passo 3

Desenvolvendo a equação:
0{,}83\,K_{s} + 0{,}83\,S = S \quad\Longrightarrow\quad 0{,}83\,K_{s} = S - 0{,}83\,S = 0{,}17\,S
Logo,
S = \frac{0{,}83}{0{,}17}\;K_{s}.

Passo 4

Substituindo K_{s}=5\,\mathrm{mg}/\mathrm{L}:
S = \frac{0{,}83}{0{,}17}\times 5\,\mathrm{mg}/\mathrm{L} \approx 24{,}4\,\mathrm{mg}/\mathrm{L}.

Resposta

A concentração de substrato necessária é aproximadamente
S \approx 24{,}4\,\mathrm{mg}/\mathrm{L}.

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