Um reator de bancada aerado é preenchido com uma mistura de substrato e células. No tempo zero, a concentração de substrato é 150 \mathrm{mg} / \mathrm{L} e a concentração celular é de 1500 mg/L. Após 6 horas, a concentração de substrato é de 4 \mathrm{mg} / \mathrm{L} e a concentração celular é de 1590 \mathrm{mg} / \mathrm{L}. Considerando um \mu_{\mathrm{m}}=3,0 \operatorname{dia}^{-1} e Ks =60 \mathrm{mg} / \mathrm{L}, calcule, usando a equação de Monod, os seguintes parâmetros:
a. A velocidade específica de crescimento nos tempos zero e 6 horas.
b. A velocidade instantânea de crescimento nos tempos zero e 6 horas.

Passo 1

O enunciado descreve um reator de bancada aerado com concentração inicial de substrato \,S_0=150, \mathrm{mg/L} e de biomassa \,X_0=1500, \mathrm{mg/L}. Após 6 h temos S_6=4, \mathrm{mg/L} e X_6=1590, \mathrm{mg/L}. Nos dão \mu_m=3{,}0, \mathrm{d^{-1}} e K_S=60, \mathrm{mg/L}. Vamos usar a equação de Monod para calcular
a) as velocidades específicas de crescimento \mu(t) em t=0 e t=6,h, e
b) as velocidades instantâneas de crescimento r_X(t)=\mu(t)\,X(t) nesses mesmos instantes.

Passo 2

A equação de Monod é
\mu = \mu_m\,\frac{S}{K_S + S}.
Em t=0, S=S_0=150, \mathrm{mg/L}, logo
\mu(0) =3{,}0\,\frac{150}{60+150} =3{,}0\,\frac{150}{210} =3{,}0\times0{,}7143 \approx2{,}143\\ \mathrm{d^{-1}}.
Em t=6,h, S=S_6=4, \mathrm{mg/L}, logo
\mu(6\text{h}) =3{,}0\,\frac{4}{60+4} =3{,}0\,\frac{4}{64} =3{,}0\times0{,}0625 =0{,}1875\\ \mathrm{d^{-1}}.

Passo 3

A velocidade instantânea de crescimento é
r_X = \mu\,X.
Em t=0:
r_X(0) =2{,}143\\ \mathrm{d^{-1}}\times1500\\ \mathrm{mg/L} \approx3214\\ \mathrm{mg\,L^{-1}\,d^{-1}}.
Em t=6,h:
r_X(6\text{h}) =0{,}1875\\ \mathrm{d^{-1}}\times1590\\ \mathrm{mg/L} \approx298\\ \mathrm{mg\,L^{-1}\,d^{-1}}.

Resposta

a. Velocidade específica de crescimento:
\displaystyle \mu(0)=2{,}143\\ \mathrm{d^{-1}},\quad \mu(6\text{h})=0{,}1875\\ \mathrm{d^{-1}}.
b. Velocidade instantânea de crescimento:
\displaystyle r_X(0)=3214\\ \mathrm{mg\,L^{-1}\,d^{-1}},\quad r_X(6\text{h})=298\\ \mathrm{mg\,L^{-1}\,d^{-1}}.

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