Os dados fornecidos abaixo foram obtidos para o crescimento em meio simples, da bactéria Aerobacter aerogenes. A curva de calibração (curva padrão) da absorbância relacionada ao peso da matéria seca ( \mathrm{X}, \mathrm{em} \mathrm{g} / \mathrm{L} ) resultou na seguinte expressão: Abs =0,0501 * X.
Tempo
(min)
0 49 78 107 139 168 201 230 238 259 321 346 376 400
Abs 0,08 0,09 0,09 0,11 0,14 0,17 0,21 0,26 0,34 0,39 0,46 0,48 0,48 0,48
O fator de conversão de células em relação ao consumo de substrato foi de 0,4 \mathrm{~g} de células formadas/g de glicose consumida, sendo a concentração inicial de glicose igual a 20 \mathrm{~g} / \mathrm{L}.
a) Estabeleça graficamente o perfil de crescimento do microrganismo, indicando as suas fases e respectivas durações e, também, a curva de consumo de substrato. Determine a taxa específica de crescimento e o tempo de duplicação na fase exponencial.
b) Considerando uma velocidade específica de consumo de substrato para manutenção celular de 0,254 \mathrm{~g}_{s} / \mathrm{g}_{\mathrm{x}} . \mathrm{h}, estabeleça uma nova curva de crescimento celular.

Passo 1

O enunciado fornece a curva padrão de absorbância versus biomassa seca X em que
\mathrm{Abs} = 0,0501\,X
e os dados de absorbância em vários tempos (min). Também é dado o rendimento celular Y_{X/S}=0,4\;\mathrm{g_X/g_S} e a concentração inicial de glicose S_0=20\;\mathrm{g/L}. Na parte (a) vamos: converter absorbância em X, traçar graficamente X versus tempo para identificar as fases (lag, exponencial, desaceleração e estacionária) e traçar S versus tempo usando
S(t)=S_0 - \frac{X(t)-X(0)}{Y_{X/S}}.
Depois determinamos a taxa específica de crescimento \mu e o tempo de duplicação t_d na fase exponencial. Na parte (b) incorporamos uma taxa de manutenção m_s=0,254\;\mathrm{g_S/(g_X\cdot h)} e usamos a equação de Pirt para reestabelecer a curva de crescimento.

Passo 2

Converter cada valor de absorbância em concentração celular
X = \frac{\mathrm{Abs}}{0,0501}.
Por exemplo, em t=0 min X(0)=0{,}08/0{,}0501\approx1{,}597\;\mathrm{g/L}, em t=49 min X(49)=0{,}09/0{,}0501\approx1{,}797\;\mathrm{g/L}, e assim por diante. Com isso obtemos os pares (t,X) que permitem traçar o perfil de crescimento.

Passo 3

Identificar as fases do crescimento no gráfico X versus t:
– Fase de adaptação (lag) de t=0 a cerca de 78 min.
– Fase exponencial de aproximadamente 78 min até cerca de 259 min.
– Fase de desaceleração de cerca de 259 min até 346 min.
– Fase estacionária a partir de 346 min (a X permanece em torno de 9,6 g/L).

Passo 4

Na fase exponencial ajustamos uma reta a \ln X versus tempo em horas. Tomando, por exemplo, os pontos em t=107 min (1{,}783\;\mathrm{h},\ln2{,}196) e t=230 min (3{,}833\;\mathrm{h},\ln5{,}189), calculamos
\mu = \frac{\ln(5{,}189)-\ln(2{,}196)}{3{,}833-1{,}783}\approx0{,}42\;\mathrm{h^{-1}}.
O tempo de duplicação é
t_d = \frac{\ln2}{\mu} \approx \frac{0{,}693}{0{,}42}\approx1{,}65\;\mathrm{h}\\ (\approx99\;\mathrm{min}).

Passo 5

Obter a curva de consumo de substrato pela estequiometria:
S(t)=20 - \frac{X(t)-X(0)}{0,4}.
Assim temos S(0)=20 - (1{,}597-1{,}597)/0{,}4=20\;\mathrm{g/L} e em cada tempo calculamos S. Isso produz um perfil de S caindo linearmente durante o crescimento exponencial até quase zero na transição para desaceleração.

Passo 6

Para a parte (b) usamos a equação de Pirt
\frac{dS}{dt} = -\frac{1}{Y_{X/S}}\frac{dX}{dt} - m_s X,
e na fase exponencial \frac{dX}{dt}=\mu X. Integramos até o consumo total de S_0:
S_0 = \int_0^{t_{\max}}\!\Bigl(\frac{\mu}{Y_{X/S}}X + m_s X\Bigr)\,dt = \Bigl(\frac{1}{Y_{X/S}}+\frac{m_s}{\mu}\Bigr)\bigl[X(t_{\max})-X(0)\bigr].
Dessa relação isolamos o X_{\max} e o tempo t_{\max}:
X_{\max}=X(0)+\frac{S_0}{\frac{1}{Y_{X/S}}+\frac{m_s}{\mu}} \approx1{,}597+\frac{20}{2{,}5+0{,}254/0{,}42}\approx8{,}04\;\mathrm{g/L},
t_{\max}=\frac{\ln\bigl(X_{\max}/X(0)\bigr)}{\mu} \approx\frac{\ln(8{,}04/1{,}597)}{0{,}42}\approx3{,}85\;\mathrm{h}\\ (\approx231\;\mathrm{min}).
Portanto a nova curva de crescimento é
X(t)=1{,}597\,e^{0{,}42\,t}\quad(\mathrm{g/L}),\quad t\le3{,}85\;\mathrm{h},
e depois X(t)=8{,}04\;\mathrm{g/L} na fase estacionária.

Resposta

Parte (a)
Taxa específica de crescimento na fase exponencial \mu\approx0{,}42\;\mathrm{h^{-1}}.
Tempo de duplicação t_d\approx1{,}65\;\mathrm{h}.
Parte (b)
Novo valor máximo de biomassa X_{\max}\approx8{,}04\;\mathrm{g/L}.
Tempo para atingir X_{\max}: t_{\max}\approx3{,}85\;\mathrm{h}.
Nova curva exponencial:
X(t)=1{,}597\,e^{0{,}42\,t},\quad t\le3{,}85\;\mathrm{h},
seguida de X(t)=8{,}04\;\mathrm{g/L}.

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