Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=0}{\infty}(-1){n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}
\sum_{n=0}{\infty}(-1){n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Esse tipo de exercício usa teste da razão para séries de potências centradas em zero.
Passo 2
Definimos
O teste da razão diz que, se
então a série converge absolutamente. Calculamos:
Como
quando
, temos
para todo
. Logo a série converge absolutamente para qualquer
.
Passo 3
Como o teste da razão dá
para todo
, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todo o eixo real.
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: