Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=0}{\infty}(-1){n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Esse tipo de exercício usa teste da razão para séries de potências centradas em zero.

Passo 2

Definimos
a_n = (-1)^{n}\,\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
O teste da razão diz que, se
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1,
então a série converge absolutamente. Calculamos:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\bigl|x\bigr|^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}\,\frac{(2n+1)!}{\bigl|x\bigr|^{2n+1}} = \frac{\bigl|x\bigr|^2}{(2n+2)(2n+3)}.
Como (2n+2)(2n+3)\to\infty quando n\to\infty, temos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{\bigl|x\bigr|^2}{(2n+2)(2n+3)} = 0 < 1
para todo x. Logo a série converge absolutamente para qualquer x.

Passo 3

Como o teste da razão dá L<1 para todo x, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Resposta

Raio de convergência: \infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

Exercícios relacionados