Uma fermentação descontínua simples de uma bactéria aeróbica que cresce em metanol deu o resultado mostrado na tabela. Calcule: Velocidade específica máxima de crescimento celular, rendimento de substrato em células, tempo de geração e constante de saturação.
Tempo (h) X (g/L) S (g/L)
0 0,2 9,23
2 0,211 9,21
4 0,305 9,07
8 0,98 8,03
10 1,77 6,8
12 3,2 4,6
14 5,6 0,92
16 6,15 0,0077
18 6,2 0

Passo 1

O enunciado fornece dados de uma fermentação descontínua simples com tempo t, biomassa X e substrato S, e pede: a velocidade específica máxima de crescimento \mu_{\max}, o rendimento de substrato em células Y_{X/S}, o tempo de geração t_g e a constante de saturação K_S. O conteúdo envolvido é a cinética de Monod, em que
\mu = \frac{\mu_{\max}\,S}{K_S + S}
e em fase exponencial \frac{dX}{dt}=\mu X. Vamos calcular primeiro as taxas específicas instantâneas \mu em cada intervalo para identificar a fase exponencial.

Passo 2

Em cada intervalo [t_i,t_{i+1}] calculamos
\mu_i = \frac{\ln X_{i+1} - \ln X_i}{t_{i+1}-t_i}.
Usando os dados:
de 0 2 h: \mu=0{,}0268 h ^{-1}
de 2 4 h: \mu=0{,}184 h ^{-1}
de 4 8 h: \mu=0{,}292 h ^{-1}
de 8 10 h: \mu=0{,}2955 h ^{-1}
de 10 12 h: \mu=0{,}2965 h ^{-1}
de 12 14 h: \mu=0{,}2795 h ^{-1}
de 14 16 h: \mu=0{,}0469 h ^{-1}
Vemos que entre 4 e 12 h \mu fica quase constante em torno de 0,29 0,30 h ^{-1}, caracterizando a fase exponencial.

Passo 3

Na fase exponencial ( 4 12 h) tomamos o valor máximo calculado como \mu_{\max}. Assim
\mu_{\max}\approx0{,}296\text{ h}^{-1}.

Passo 4

O rendimento de substrato em biomassa Y_{X/S} é
Y_{X/S}=\frac{\Delta X}{\Delta S}
na fase exponencial. Entre 4 h ( X=0{,}305, S=9{,}07) e 12 h ( X=3{,}20, S=4{,}60) temos
\Delta X=3{,}20-0{,}305=2{,}895,\quad \Delta S=9{,}07-4{,}60=4{,}47,
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Y_{X/S}=\frac{2{,}895}{4{,}47}\approx0{,}65\text{ g X/g S}.
O tempo de geração é
t_g=\frac{\ln2}{\mu_{\max}} =\frac{0{,}693}{0{,}296}\approx2{,}34\text{ h}.

Passo 5

Para achar K_S rearranjamos Monod em
K_S = S\biggl(\frac{\mu_{\max}}{\mu}-1\biggr).
Usando os pares (\mu,S) médios em 4 8 h e 8 10 h:
em 4 8 h: S_{\rm méd}=8{,}55é, \mu=0{,}292 \to K_S=8{,}55(0{,}296/0{,}292-1)\approx0{,}12
em 8 10 h: S_{\rm méd}=7{,}415é, \mu=0{,}2955 \to K_S=7{,}415(0{,}296/0{,}2955-1)\approx0{,}013.
Fazendo a média obtemos
K_S\approx0{,}06\text{ g/L}.

Resposta

\mu_{\max}\approx0{,}296 h ^{-1} Y_{X/S}\approx0{,}65 g X/g S
t_g\approx2{,}34 h
K_S\approx0{,}06 g/L

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