2- Um paramagneto ideal de N spins 1 / 2 responde ao campo magnético dependente da temperatura conforme H(T)=\alpha T^{2}, onde \alpha tem dimensão de T / K^{2} e é constante.
A) Trace o gráfio da energia por partículas u(T) \times T.
B) - Calcule os pontos de máximo e mínimo da magnetização por partículas m(T), se houverem.
C) - Calcule os pontos de máximo e mínimo da suscetibilidade magnética por partículas \mathcal{X}(T), se houverem.

Passo 1

O enunciado dá um paramagneto ideal formado por N spins 1/2 e uma dependência do campo magnético com a temperatura:
H(T)=\alpha T^{2},
onde \alpha é constante (dimensão de campo por K^{2}, isto é \text{(Tesla)}/K^{2} ou equivalente). O que se pede:
  • (A) Traçar o gráfico da energia por partícula u(T) em função de T.
  • (B) Calcular os pontos de máximo e mínimo (se existirem) da magnetização por partícula m(T).
  • (C) Calcular os pontos de máximo e mínimo (se existirem) da suscetibilidade magnética por partícula \mathcal{X}(T).
Informações e convenções que usarei:
  • k_B é a constante de Boltzmann.
  • \mu é o momento magnético absoluto de cada spin (valor positivo).
  • Temperatura física considera-se T>0.
  • Vou trabalhar com grandezas por partícula (ou seja, energia, magnetização e suscetibilidade por spin).
    Não vou resolver nada neste passo além de listar o que foi pedido e as constantes envolvidas.

Passo 2

Vamos obter as fórmulas básicas para um spin 1/2 numa campo magnético H à temperatura T. Isso é necessário para calcular m(T), u(T) e \mathcal{X}(T).
  1. Partição de uma única partícula (spin 1/2): os estados têm energias -\mu H e +\mu H. A função partição por partícula é
Z = e^{\beta\mu H} + e^{-\beta\mu H} = 2\operatorname{cosh}(\beta\mu H),
onde \beta = 1/(k_B T).
  1. Magnetização média por partícula: o valor esperado do momento magnético é
m \equiv \langle \mu s_z\rangle = \mu\frac{e^{\beta\mu H}-e^{-\beta\mu H}}{e^{\beta\mu H}+e^{-\beta\mu H}} = \mu\operatorname{tanh}(\beta\mu H).
Explicação didática: a probabilidade do estado com energia -\mu H é e^{\beta\mu H}/Z, do estado com +\mu H é e^{-\beta\mu H}/Z; a média dos momentos (+\mu e -\mu) dá exatamente \mu\operatorname{tanh}(\beta\mu H).
  1. Energia média por partícula: pode-se obter por u = -\partial_{\beta}\ln Z (método padrão da estatística):
\ln Z = \ln\big(2\operatorname{cosh}(\beta\mu H)\big), \qquad u = -\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z = -\mu H\operatorname{tanh}(\beta\mu H).
Interpretação física: energia por partícula é -\mu H vezes a magnetização relativa \operatorname{tanh}(\beta\mu H).
  1. Suscetibilidade por partícula (susceptibilidade isoterma definida como \partial m/\partial H à temperatura fixa):
\mathcal{X} \equiv \frac{\partial m}{\partial H}\Big|_{T} = \frac{\partial}{\partial H}\big(\mu\operatorname{tanh}(\beta\mu H)\big) = \mu\cdot\beta\mu\\ \mathrm{sech}^2(\beta\mu H) = \beta\mu^{2}\,\mathrm{sech}^2(\beta\mu H).
Aqui \mathrm{sech}(x)=1/\operatorname{cosh}(x). Observação: esta é a definição usual de susceptibilidade como derivada em relação ao campo à temperatura fixa; depois substituiremos H=H(T) para obter \mathcal{X} como função de T.

Passo 3

Agora substituímos a dependência H(T)=\alpha T^{2} nas fórmulas obtidas e simplificamos as expressões. Defino a constante conveniente
c \equiv \frac{\mu\alpha}{k_B},
que tem dimensão 1/K. Note que
\beta\mu H = \frac{1}{k_B T}\mu(\alpha T^{2}) = \frac{\mu\alpha}{k_B}T = cT,
ou seja o argumento das funções hiperbólicas fica simplesmente proporcional a T.
As expressões por partícula ficam:
  1. Magnetização por partícula:
m(T) = \mu\operatorname{tanh}(\beta\mu H)=\mu\operatorname{tanh}(cT).
  1. Energia por partícula:
u(T) = -\mu H\operatorname{tanh}(\beta\mu H) = -\mu\big(\alpha T^{2}\big)\operatorname{tanh}(cT).
Ou seja,
u(T) = -\mu\alpha T^{2}\,\operatorname{tanh}(cT).
  1. Suscetibilidade por partícula (primeiro escrevendo \beta=1/(k_B T)):
\mathcal{X}(T)=\beta\mu^{2}\,\mathrm{sech}^{2}(\beta\mu H) =\frac{\mu^{2}}{k_B T}\,\mathrm{sech}^{2}(cT).
Essas são as fórmulas explícitas que vamos analisar para encontrar máximos/minimos e traçar o gráfico de u(T).

Passo 4

Análise do gráfico de u(T) (item A): comportamento e monotonicidade.
Temos
u(T) = -\mu\alpha T^{2}\operatorname{tanh}(cT).
Limites e comportamento:
  • Em T\to0^{+}: \operatorname{tanh}(cT)\sim cT (expansão em série), portanto
u(T)\sim -\mu\alpha T^{2}\cdot(cT) = -\frac{\mu^{2}\alpha^{2}}{k_B}\,T^{3}.
Logo u(0)=0 e para pequeno T a energia cresce em módulo como -\,\text{const}\cdot T^{3} (negativa e pequena).
  • Em T\to\infty: \operatorname{tanh}(cT)\to 1, então
u(T)\sim -\mu\alpha T^{2}.
Assim para grandes T a energia por partícula fica negativa e escala \propto -T^{2}.
Monotonicidade (importante para o formato do gráfico): calcule a derivada
\frac{du}{dT} = -\mu\alpha\Big(2T\operatorname{tanh}(cT) + T^{2}\cdot c\,\mathrm{sech}^{2}(cT)\Big).
Observando que para T>0 temos T>0, \operatorname{tanh}(cT)>0, \mathrm{sech}^{2}(cT)>0 e c>0 (assumindo \mu,\alpha,k_B>0), o parêntese é estritamente positivo. Portanto \dfrac{du}{dT}<0 para todo T>0: u(T) é estritamente decrescente. Conclusão prática para o gráfico:
  • Em T=0, u=0.
  • Para T>0 a função desce (fica cada vez mais negativa), inicialmente com comportamento cúbico \sim -T^{3} e para T grande aproxima a parábola negativa -\mu\alpha T^{2}.
    Não há máximos/minimos interiores (apenas o valor de contorno em T=0 e decrescimento contínuo).

Passo 5

Análise da magnetização m(T) (item B): existência de extremos.
Temos
m(T)=\mu\operatorname{tanh}(cT).
Derivada em relação a T:
\frac{dm}{dT}=\mu\,c\,\mathrm{sech}^{2}(cT).
Para T>0 tem-se \mathrm{sech}^{2}(cT)>0, logo \dfrac{dm}{dT}>0. Isso mostra que m(T) é estritamente crescente em T>0.
Limites:
  • Em T\to0^{+}: \operatorname{tanh}(cT)\sim cT\Rightarrow m\sim \mu c T\to 0. Portanto m(0)=0.
  • Em T\to\infty: \operatorname{tanh}(cT)\to 1\Rightarrow m\to\mu (saturação do momento magnético).
Conclusão: não há pontos de máximo ou mínimo internos (para T>0). O menor valor (global para o intervalo T\ge0) é m(0)=0; o máximo é um limite assintótico m\to\mu quando T\to\infty (não atingido em T<\infty).

Passo 6

Análise da suscetibilidade \mathcal{X}(T) (item C): existência de extremos.
Recordando:
\mathcal{X}(T)=\frac{\mu^{2}}{k_B T}\,\mathrm{sech}^{2}(cT).
Para estudar extremos tomamos a derivada em relação a T. É conveniente escrever \mathcal{X}=A\,T^{-1}s(T) com A=\mu^{2}/k_B e s(T)=\mathrm{sech}^{2}(cT). Então
\frac{d\mathcal{X}}{dT} = A\Big(-T^{-2}s(T) + T^{-1}s'(T)\Big).
Sabendo s'(T)=-2c\,\mathrm{sech}^{2}(cT)\operatorname{tanh}(cT) = -2c\,s(T)\operatorname{tanh}(cT), obtemos
\frac{d\mathcal{X}}{dT} = A\,s(T)\Big(-\frac{1}{T^{2}} - \frac{2c\operatorname{tanh}(cT)}{T}\Big).
Para achar possíveis pontos críticos devemos resolver \dfrac{d\mathcal{X}}{dT}=0. Como A>0 e s(T)>0 para todo T, a condição equivalente é
-\frac{1}{T^{2}} - \frac{2c\operatorname{tanh}(cT)}{T} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 + 2cT\operatorname{tanh}(cT)=0.
Mas para T>0 temos cT>0 e portanto \operatorname{tanh}(cT)>0, o produto 2cT\operatorname{tanh}(cT) é positivo, o que torna 1+2cT\operatorname{tanh}(cT)>1: a igualdade não pode ocorrer. Conclusão: não há pontos críticos interiores com T>0.
Sinal da derivada: o termo entre parênteses é negativo, então \dfrac{d\mathcal{X}}{dT}<0 para todo T>0. Logo \mathcal{X}(T) é estritamente decrescente em T>0.
Limites:
  • T\to0^{+}: \mathcal{X}(T)\sim \dfrac{\mu^{2}}{k_B T}, diverge para +\infty.
  • T\to\infty: \mathrm{sech}^{2}(cT)\to 0 exponencialmente, enquanto 1/T\to0 polinomialmente, logo \mathcal{X}(T)\to0.
Portanto não há máximos ou mínimos locais internos; a função decresce de +\infty em T\to0^{+} para 0 quando T\to\infty.

Passo 7

Resumo final (forma compacta das expressões, util para conferência e para traçar o gráfico):
  • Magnetização por partícula:
m(T)=\mu\operatorname{tanh}\!\bigg(\frac{\mu\alpha}{k_B}T\bigg).
  • Energia por partícula:
u(T)=-\mu\alpha T^{2}\,\operatorname{tanh}\!\bigg(\frac{\mu\alpha}{k_B}T\bigg).
  • Suscetibilidade por partícula:
\mathcal{X}(T)=\frac{\mu^{2}}{k_B T}\,\mathrm{sech}^{2}\!\bigg(\frac{\mu\alpha}{k_B}T\bigg).
Comportamentos importantes:
  • u(T) é estritamente decrescente em T>0; u(0)=0; para T\to0 tem u\sim -(\mu^{2}\alpha^{2}/k_B)\,T^{3}; para T\to\infty, u\sim -\mu\alpha T^{2}.
  • m(T) é estritamente crescente em T>0; m(0)=0; m(T)\to\mu quando T\to\infty. Não há extremos internos.
  • \mathcal{X}(T) é estritamente decrescente em T>0; \mathcal{X}(T)\to\infty quando T\to0^{+} e \mathcal{X}(T)\to0 quando T\to\infty. Não há extremos internos.
Força final de ânimo: você já tem as fórmulas explícitas e as provas das monotonicidades; com isso o traçado qualitativo do gráfico de u(T) é imediato (começa em zero, cai lentamente como -T^{3} e depois acompanha -T^{2} para grandes T).

Resposta

u(T)=-\mu\alpha T^{2}\,\operatorname{tanh}\!\bigg(\dfrac{\mu\alpha}{k_B}T\bigg). (Gráfico: u(0)=0; u estritamente decrescente para T>0; para T\to0, u\sim -\dfrac{\mu^{2}\alpha^{2}}{k_B}T^{3}; para T\to\infty, u\sim -\mu\alpha T^{2}.)\newline
m(T)=\mu\operatorname{tanh}\!\bigg(\dfrac{\mu\alpha}{k_B}T\bigg). (Não há máximos ou mínimos internos: m(0)=0 mínimo; m\to\mu assintótico como T\to\infty.)\newline
\mathcal{X}(T)=\dfrac{\mu^{2}}{k_B T}\,\mathrm{sech}^{2}\!\bigg(\dfrac{\mu\alpha}{k_B}T\bigg). (Não há máximos ou mínimos internos: \mathcal{X} é estritamente decrescente em T>0; \mathcal{X}\to\infty para T\to0^{+} e \mathcal{X}\to0 para T\to\infty.)

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