Considerando a parte real e a imaginária da integral da parte (a), calcule as integrais reais
integral e^x cos x d x e integral e^x sen x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as duas integrais reais
e
usando a parte real e imaginária de
. O conteúdo envolvido é integrais de exponenciais complexas e separação em parte real e imaginária.

Passo 2

Começamos reconhecendo que
integral e^x(cos x + isin x),dx = integral e^(1+i)x,dx , então
a
Como sabemos que para constante integral e^axdx = e^axa + C,
integral e^(1+i)xdx = e^(1+i)x1+i + C
temos

Passo 3

Para simplificar 1/(1+i), multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 1-i:
11+i = 1-i(1+i)(1-i) = 1-i2
Logo,
e^(1+i)x1+i = 1-i2,e^(1+i)x

Passo 4

Escrevendo
e^(1+i)x = e^x(cos x + isin x) e multiplicando:
(cos x + isin x)(1-i) = (cos x + sin x) + i(sin x - cos x)
Então
e^(1+i)x1+i = e^x2l[(cos x + sin x) + i(sin x - cos x)r]

Passo 5

A parte real dessa expressão é
integral e^xcos x,dx = e^x2(cos x + sin x) + C1,
e a parte imaginária é
integral e^xsin x,dx = e^x2(sin x - cos x) + C2

Resposta

integral e^xcos x,dx = e^x2(cos x + sin x) + C
integral e^xsin x,dx = e^x2(sin x - cos x) + C

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