Estimar o coeficiente de difusão ( \mathrm{D}_{\mathrm{AB}} ) do \mathrm{CO}_{2} para o sistema \mathrm{N}_{2}-\mathrm{CO}_{2} a 590 Ke 1 bar. O valor experimental reportado por Ellis e Holsen (1969) é de 0,583 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}. Calcule o erro relativo. Utilize a equação de Chapman - Enskog.

Passo 1

O enunciado pede para estimar o coeficiente de difusão \mathrm{D}_{\mathrm{AB}} de \mathrm{CO}_2 em \mathrm{N}_2 a T=590\\ \mathrm{K} e P=1\\ \mathrm{bar}, usando a equação de Chapman–Enskog, e então calcular o erro relativo em relação ao valor experimental \mathrm{D}_{\mathrm{exp}}=0,583\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}. Vamos precisar dos parâmetros de Lennard-Jones \sigma e \varepsilon/k para cada gás, da regra de mistura, do integral de colisão \Omega_D e da fórmula empírica que fornece \mathrm{D}_{\mathrm{AB}} em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.

Passo 2

Buscamos os parâmetros de Lennard–Jones:
\sigma_{\mathrm{N_2}} = 3{,}798\\ \text{\AA},\quad \varepsilon_{\mathrm{N_2}}/k = 71{,}4\\ \mathrm{K},
\sigma_{\mathrm{CO_2}} = 3{,}996\\ \text{\AA},\quad \varepsilon_{\mathrm{CO_2}}/k = 190{,}4\\ \mathrm{K}.
Pela regra de mistura:
\sigma_{12} = \frac{\sigma_{\mathrm{N_2}} + \sigma_{\mathrm{CO_2}}}{2} = \frac{3{,}798 + 3{,}996}{2} = 3{,}897\\ \text{\AA},
\varepsilon_{12}/k = \sqrt{\bigl(\varepsilon_{\mathrm{N_2}}/k\bigr)\,\bigl(\varepsilon_{\mathrm{CO_2}}/k\bigr)} = \sqrt{71{,}4 \times 190{,}4} = 116{,}5\\ \mathrm{K}.
Definimos a temperatura reduzida
T^* = \frac{T}{\varepsilon_{12}/k} = \frac{590}{116{,}5} \approx 5{,}07.

Passo 3

Consultando tabelas de Hirschfelder para \Omega_D em T^*\approx5, obtemos aproximadamente
\Omega_D \approx 0{,}99 \approx 1{,}0.

Passo 4

Usamos a correlação empírica (Poling & Prausnitz):
\mathrm{D}_{12}(\mathrm{cm}^2/\mathrm{s}) = \frac{0{,}001858\;T^{3/2}}{P\;\sigma_{12}^2\;\Omega_D} \sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{N_2}}}+\frac{1}{M_{\mathrm{CO_2}}}},
com T=590, P=1\\ \mathrm{atm}, M_{\mathrm{N_2}}=28{,}01, M_{\mathrm{CO_2}}=44{,}01 (g/mol). Calculamos:
\sqrt{\frac{1}{28{,}01} + \frac{1}{44{,}01}} = \sqrt{0{,}0357 + 0{,}0227} = 0{,}2417,
T^{3/2} = 590^{1{,}5} = 590\sqrt{590}\approx 1{,}4331\times10^4,
\sigma_{12}^2 = (3{,}897)^2 = 15{,}185\\ \text{\AA}^2.
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\mathrm{D}_{12} = \frac{0{,}001858 \times 1{,}4331\times10^4 \times 0{,}2417} {1 \times 15{,}185 \times 1{,}0} \approx 0{,}424\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.

Passo 5

O erro relativo em relação a \mathrm{D}_{\mathrm{exp}}=0,583\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} é
\text{erro}_{\mathrm{rel}} = \frac{\bigl|\mathrm{D}_{\mathrm{exp}} - \mathrm{D}_{12}\bigr|}{\mathrm{D}_{\mathrm{exp}}}\times100\% = \frac{|0{,}583 - 0{,}424|}{0{,}583}\times100\% \approx 27{,}3\%.

Resposta

\mathrm{D}_{\mathrm{AB}}\approx0{,}42\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}
Erro relativo \approx27{,}3\%

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