Considerando o perfil 1 / 7 para o escoamento turbulento em camada limite, obtenha uma expressão para \delta(\mathrm{x}) / \mathrm{x}, calcule o \mathrm{C}_{\mathrm{f}} e a força total de cisalhamento em uma placa de comprimento \mathrm{L}=2 \mathrm{~m}, para um \mathrm{Re}_{\mathrm{L}}=40000. OBS: Note que \partial \mathrm{u} / \partial \mathrm{y} \rightarrow \infty \mathrm{em} \mathrm{y}=0, desta forma não é possível obter a tensão cisalhante na parede. Por isso, deve utilizar a equação integral de von Karman, para obter esta aproximação.

Passo 1

O enunciado trata do escoamento turbulento em placa plana com perfil de velocidade dado por
\frac{u}{U_\infty} = \Bigl(\frac{y}{\delta(x)}\Bigr)^{1/7}
e pede (a) uma expressão para \delta(x)/x, (b) o coeficiente de atrito local C_f e (c) a força total de cisalhamento sobre a placa de comprimento L=2,m quando \mathrm{Re}_L=4\times10^4. Como \partial u/\partial y\to\infty em y=0, não usamos a tensão de cisalhamento local direta, mas sim a equação integral de von Kármán.

Passo 2

Calculamos a espessura de momento \theta em função de \delta. Por definição
\theta = \int_{0}^{\delta} \frac{u}{U_\infty}\Bigl(1-\frac{u}{U_\infty}\Bigr)\,dy
faço a troca de variável \eta=y/\delta, de modo que
\theta = \delta\int_{0}^{1}\eta^{1/7}(1-\eta^{1/7})\,d\eta =\delta\Bigl[\int_{0}^{1}\eta^{1/7}\,d\eta - \int_{0}^{1}\eta^{2/7}\,d\eta\Bigr] =\delta\Bigl[\frac{7}{8}-\frac{7}{9}\Bigr] =\frac{7}{72}\,\delta.

Passo 3

A equação integral de von Kármán para placa plana é
\frac{C_f}{2} \;=\;\frac{d\theta}{dx}
(onde C_f=\tau_w/(\tfrac12\rho U_\infty^2)). Como \theta=(7/72)\,\delta, temos
\frac{C_f}{2} = \frac{7}{72}\,\frac{d\delta}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\delta}{dx} = \frac{36}{7}\,\frac{C_f}{2} = \frac{18}{7}\,C_f.
Sabe-se experimentalmente (e também saindo desse mesmo procedimento de forma aproximada) que para o perfil 1/7 surge a lei de potência
\frac{\delta}{x} = 0.37\,\mathrm{Re}_x^{-1/5}, \qquad C_f(x) = 0.0592\,\mathrm{Re}_x^{-1/5},
onde \mathrm{Re}_x = U_\infty\,x/\nu.

Passo 4

Para x=L, com \mathrm{Re}_L=4\times10^4 e \mathrm{Re}_L^{-1/5}=(4\times10^4)^{-0.2}\approx0.120:
\frac{\delta(L)}{L} = 0.37\times0.120 = 0.0444, \qquad C_f(L) = 0.0592\times0.120 = 0.00710.
A força de cisalhamento por unidade de largura é
F'=\int_{0}^{L}\tau_w\,dx =\frac12\,\rho\,U_\infty^2\int_{0}^{L}C_f(x)\,dx =\frac12\,\rho\,U_\infty^2\;0.0592\int_{0}^{L}\Bigl(\frac{U_\infty x}{\nu}\Bigr)^{-1/5}dx.
Calculando
\int_{0}^{L} x^{-1/5}dx = \frac{5}{4}L^{4/5},
e notando que (U_\infty/\nu)^{-1/5}L^{4/5}=L\;\mathrm{Re}_L^{-1/5}, obtém-se
F' = \frac12\,\rho\,U_\infty^2\;0.0592\;\frac{5}{4}\;L\,\mathrm{Re}_L^{-1/5} =0.037\;\frac{\rho\,U_\infty^2}{2}\;L\;\mathrm{Re}_L^{-1/5}.
Substituindo \mathrm{Re}_L^{-1/5}=0.120 e L=2,m:
F' = 0.037\times0.120\times\frac{\rho\,U_\infty^2}{2}\times2 =0.00888\;\rho\,U_\infty^2.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\delta(x)}{x}=0.37\,\mathrm{Re}_x^{-1/5}.
(b) \displaystyle C_f(x)=0.0592\,\mathrm{Re}_x^{-1/5}.
Em x=L=2 m e \mathrm{Re}_L=4\times10^4:
\frac{\delta(L)}{L}=0.0444, \quad C_f(L)=0.00710.
(c) Força por unidade de largura
F' = 0.00888\,\rho\,U_\infty^2.

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