Informe as coordenadas do centro e a medida do raio das circunferências representadas pelas equações:
(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=16

Passo 1

O enunciado dá a equação da circunferência
(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=16
e pede duas informações claras:
  1. as coordenadas do centro da circunferência, e
  2. a medida do raio da circunferência.
    Dado: a equação acima. Objetivo: identificar centro e raio.

Passo 2

Vamos lembrar a forma padrão (canônica) de uma circunferência e o que cada símbolo significa. A forma padrão é
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},
onde:
  • (h,k) são as coordenadas do centro da circunferência;
  • r é o raio (sempre r\ge 0).
    Por que isso faz sentido? Porque a definição geométrica da circunferência é o conjunto dos pontos (x,y) cuja distância ao centro (h,k) é exatamente r. Usando a fórmula da distância entre pontos,
\sqrt{(x-h)^{2}+(y-k)^{2}}=r.
Elevando ao quadrado obtém-se a forma padrão acima:
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}.

Passo 3

Agora compare a equação dada com a forma padrão. Na equação dada temos os termos (x-3)^{2} e (y-1)^{2}. Ao identificar com (x-h)^{2} e (y-k)^{2} obtemos:
h=3,\qquad k=1.
Observação sobre sinal: se aparecesse (x+2)^{2} isso é (x-(-2))^{2}, então aí h=-2. Aqui, como está (x-3)^{2}, então h=3; como está (y-1)^{2}, então k=1.

Passo 4

Na forma padrão o lado direito é r^{2}. Na equação dada o lado direito é 16, então
r^{2}=16.
Para obter r tomamos a raiz quadrada positiva:
r=\sqrt{16}=4.
Sempre escolhemos a raiz positiva porque o raio é uma medida de comprimento.

Passo 5

Um pequeno check intuitivo para fixar: se o centro é (3,1) e o raio é 4, então o ponto (7,1) (que está a 4 unidades à direita do centro) deve pertencer à circunferência. Verificamos:
(7-3)^{2}+(1-1)^{2}=4^{2}+0=16,
logo (7,1) satisfaz a equação — coerente com r=4.

Passo 6

Dica prática para a prova (bem amistosa): quando a equação já estiver na forma (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}, basta ler h e k direto dentro dos parênteses (atenção ao sinal) e calcular r=\sqrt{\text{lado direito}}. Se a equação não estiver nessa forma (por exemplo x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0), aí você completa quadrados em x e em y para chegar à forma padrão antes de ler o centro e o raio.

Resposta

Centro: (3,1)
Raio: 4

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