Informe as coordenadas do centro e a medida do raio das circunferências representadas pelas equações:
Passo 1
O enunciado dá a equação da circunferência
e pede duas informações claras:
- as coordenadas do centro da circunferência, e
- a medida do raio da circunferência.
Dado: a equação acima. Objetivo: identificar centro e raio.
Passo 2
Vamos lembrar a forma padrão (canônica) de uma circunferência e o que cada símbolo significa. A forma padrão é
onde:
-
são as coordenadas do centro da circunferência; -
é o raio (sempre ).
Por que isso faz sentido? Porque a definição geométrica da circunferência é o conjunto dos pontoscuja distância ao centro é exatamente . Usando a fórmula da distância entre pontos,
Elevando ao quadrado obtém-se a forma padrão acima:
Passo 3
Agora compare a equação dada com a forma padrão. Na equação dada temos os termos
e
. Ao identificar com
e
obtemos:
Observação sobre sinal: se aparecesse
isso é
, então aí
. Aqui, como está
, então
; como está
, então
.
Passo 4
Na forma padrão o lado direito é
. Na equação dada o lado direito é
, então
Para obter
tomamos a raiz quadrada positiva:
Sempre escolhemos a raiz positiva porque o raio é uma medida de comprimento.
Passo 5
Um pequeno check intuitivo para fixar: se o centro é
e o raio é
, então o ponto
(que está a
unidades à direita do centro) deve pertencer à circunferência. Verificamos:
logo
satisfaz a equação — coerente com
.
Passo 6
Dica prática para a prova (bem amistosa): quando a equação já estiver na forma
, basta ler
e
direto dentro dos parênteses (atenção ao sinal) e calcular
. Se a equação não estiver nessa forma (por exemplo
), aí você completa quadrados em
e em
para chegar à forma padrão antes de ler o centro e o raio.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: