Considerando que o ponto
que está no círculo unitário é o correspondente a um ângulo
encontre, sen
e
:
Passo 1
O enunciado dá um ponto
no círculo unitário correspondente a um ângulo
e pede os valores de seis funções trigonométricas nesse ângulo. As informações fornecidas são:
- Coordenadas do ponto
: . - O ponto está no círculo unitário (raio
) e corresponde ao ângulo .
O que o enunciado pede explicitamente: - Calcular
, , , , e .
Passo 2
Entendendo a relação ponto ↔ funções trigonométricas no círculo unitário (aula rápida e prática).
- Para um ponto
no círculo unitário correspondente a um ângulo medido a partir do eixo positivo , vale a regra
Aqui a primeira coordenada é
e a segunda é
.
Aplicando isso ao ponto dado, obtemos diretamente:
Aplicando isso ao ponto dado, obtemos diretamente:
Comentário reconfortante: vê como isso é direto? No círculo unitário as coordenadas já são cosseno e seno — não precisa derivar nada complicado.
Passo 3
Calcular
(
).
- Definição usada:
. Aqui é o numerador e o denominador. - Substituindo os valores encontrados:
- Simplificando a fração: numerador e denominador são iguais (e negativos), então o quociente é
. Logo
Pequena dica: dividir duas quantidades iguais dá
; o sinal negativo se cancela automaticamente.
Passo 4
Calcular
(
).
- Definição usada:
. - Usando
ou fazendo a razão diretamente:
Portanto
. (Outra forma:
.)
Passo 5
Calcular
.
- Definição:
. Aqui não pode ser zero (aqui não é). - Substituindo
:
- Simplificando
: multiplicar numerador e denominador por ou notar que . Portanto
Pequeno truque mental:
.
Passo 6
Calcular
(cosecante; símbolo comum
).
- Definição:
. - Como
,
Observação: aqui
e
deram o mesmo valor numericamente porque
e
têm o mesmo valor neste caso; ambos são negativos, então ambos os recíprocos são
.
Passo 7
Comentário final e interpretação do ângulo (para fixar o conceito).
- As duas coordenadas iguais e negativas indicam que
está no terceiro quadrante, com coordenadas típicas de deslocadas: o ângulo principal correspondente é (ou em graus ); no entanto, para as funções trigonométricas os valores repetem a cada , então dá os mesmos valores para qualquer inteiro . Isso é só para você guardar o local do ângulo no círculo — não era necessário para calcular as razões, mas ajuda na intuição.