Considerando que o ponto P que está no círculo unitário é o correspondente a um ângulo x encontre, sen x, \cos x, \operatorname{tg} x, \operatorname{cotg} x, \operatorname{sec} x e \operatorname{cossec} x :
\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá um ponto P no círculo unitário correspondente a um ângulo x e pede os valores de seis funções trigonométricas nesse ângulo. As informações fornecidas são:
  • Coordenadas do ponto P: \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
  • O ponto está no círculo unitário (raio 1) e corresponde ao ângulo x.
    O que o enunciado pede explicitamente:
  • Calcular \sin x, \cos x, \operatorname{tg} x, \operatorname{cotg} x, \operatorname{sec} x e \operatorname{cossec} x.

Passo 2

Entendendo a relação ponto ↔ funções trigonométricas no círculo unitário (aula rápida e prática).
  • Para um ponto P no círculo unitário correspondente a um ângulo x medido a partir do eixo positivo x, vale a regra
P=(\cos x,\sin x).
Aqui a primeira coordenada é \cos x e a segunda é \sin x.
Aplicando isso ao ponto dado, obtemos diretamente:
\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Comentário reconfortante: vê como isso é direto? No círculo unitário as coordenadas já são cosseno e seno — não precisa derivar nada complicado.

Passo 3

Calcular \operatorname{tg} x ( \tan).
  • Definição usada: \displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. Aqui \sin x é o numerador e \cos x o denominador.
  • Substituindo os valores encontrados:
\tan x = \frac{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}.
  • Simplificando a fração: numerador e denominador são iguais (e negativos), então o quociente é 1. Logo
\tan x = 1.
Pequena dica: dividir duas quantidades iguais dá 1; o sinal negativo se cancela automaticamente.

Passo 4

Calcular \operatorname{cotg} x ( \cot).
  • Definição usada: \displaystyle \cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}.
  • Usando \tan x = 1 ou fazendo a razão diretamente:
\cot x = \frac{1}{1} = 1.
Portanto \cot x = 1. (Outra forma: \dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=1.)

Passo 5

Calcular \operatorname{sec} x.
  • Definição: \displaystyle \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}. Aqui \cos x não pode ser zero (aqui não é).
  • Substituindo \cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}:
\operatorname{sec} x = \frac{1}{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}}.
  • Simplificando -\dfrac{2}{\sqrt{2}}: multiplicar numerador e denominador por \sqrt{2} ou notar que \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. Portanto
\operatorname{sec} x = -\sqrt{2}.
Pequeno truque mental: 1/(\tfrac{\sqrt{2}}{2}) = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2}.

Passo 6

Calcular \operatorname{cossec} x (cosecante; símbolo comum \csc x).
  • Definição: \displaystyle \operatorname{cossec} x = \frac{1}{\sin x}.
  • Como \sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},
\operatorname{cossec} x = \frac{1}{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}.
Observação: aqui \operatorname{cossec} x e \operatorname{sec} x deram o mesmo valor numericamente porque \sin x e \cos x têm o mesmo valor neste caso; ambos são negativos, então ambos os recíprocos são -\sqrt{2}.

Passo 7

Comentário final e interpretação do ângulo (para fixar o conceito).
  • As duas coordenadas iguais e negativas indicam que x está no terceiro quadrante, com coordenadas típicas de 45^\circ deslocadas: o ângulo principal correspondente é \displaystyle x=\frac{5\pi}{4} (ou em graus 225^\circ); no entanto, para as funções trigonométricas os valores repetem a cada 2\pi, então x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi dá os mesmos valores para qualquer inteiro k. Isso é só para você guardar o local do ângulo no círculo — não era necessário para calcular as razões, mas ajuda na intuição.

Resposta

\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\operatorname{tg} x = 1
\operatorname{cotg} x = 1
\operatorname{sec} x = -\sqrt{2}
\operatorname{cossec} x = -\sqrt{2}

Exercícios relacionados