Considerando que o ponto P que está no círculo unitário é o correspondente a um ângulo x encontre, sen x, \cos x, \operatorname{tg} x, \operatorname{cotg} x, \operatorname{sec} x e \operatorname{cossec} x :
\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá que o ponto P do círculo unitário correspondente a um ângulo x tem coordenadas
P=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right).
O que é pedido:
  • Encontrar \sin x.
  • Encontrar \cos x.
  • Encontrar \operatorname{tg} x.
  • Encontrar \operatorname{cotg} x.
  • Encontrar \operatorname{sec} x.
  • Encontrar \operatorname{cossec} x.

Passo 2

Regra básica (importante para usar na prova): para um ponto P=(x_P,y_P) no círculo unitário que corresponde a um ângulo x, vale
\cos x = x_P,\qquad \sin x = y_P.
Também usaremos as definições algébricas das demais funções:
\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x},\qquad \operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\sin x},
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x},\qquad \operatorname{cossec} x = \frac{1}{\sin x}.
Vou aplicar essas fórmulas trocando x_P e y_P pelas coordenadas dadas.

Passo 3

Identificar \cos x e \sin x a partir das coordenadas do ponto P. Como P=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right), temos:
\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin x = -\frac{1}{2}.
(Explicação rápida: no círculo unitário a abscissa é cosseno e a ordenada é seno.)

Passo 4

Calcular \operatorname{tg} x usando \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Substituindo:
\operatorname{tg} x = \frac{-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2}.
Simplificando as frações (os fatores 1/2 cancelam):
\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.
(Preferir \dfrac{\sqrt{3}}{3} em provas para não deixar raiz no denominador.)

Passo 5

Calcular \operatorname{cotg} x usando \operatorname{cotg} x=\dfrac{\cos x}{\sin x}. Substituindo:
\operatorname{cotg} x = \frac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\tfrac{1}{2}} = \frac{-\sqrt{3}/2}{-1/2}.
Cancelando 1/2 e sinais:
\operatorname{cotg} x = \sqrt{3}.

Passo 6

Calcular \operatorname{sec} x usando \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Substituindo:
\operatorname{sec} x = \frac{1}{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}}.
Racionalizando o denominador:
\operatorname{sec} x = -\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}.

Passo 7

Calcular \operatorname{cossec} x usando \operatorname{cossec} x=\dfrac{1}{\sin x}. Substituindo:
\operatorname{cossec} x = \frac{1}{-\tfrac{1}{2}} = -2.

Passo 8

Verificação e observação útil para prova: os dois valores \cos x e \sin x são negativos, então x está no terceiro quadrante. Os módulos correspondem aos valores de um ângulo de referência de \pi/6 (30°); portanto x é equivalente a x=\pi+\pi/6=\tfrac{7\pi}{6} (ou qualquer coterminal), o que confere os sinais negativos usados acima.

Resposta

\sin x = -\dfrac{1}{2}
\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\operatorname{tg} x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}
\operatorname{cotg} x = \sqrt{3}
\operatorname{sec} x = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}
\operatorname{cossec} x = -2

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