Considerando que o ponto
que está no círculo unitário é o correspondente a um ângulo
encontre, sen
e
:
Passo 1
O enunciado dá um ponto
do círculo unitário que corresponde a um ângulo
. O ponto é
O que o problema pede: encontrar os valores de
,
,
,
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- Coordenadas de
: primeira componente e segunda componente . - Está explícito que
pertence ao círculo unitário (raio ) e corresponde ao ângulo .
Passo 2
Entendendo a relação entre o ponto no círculo unitário e as razões trigonométricas.
Regra essencial (explicar como usar): num ponto
do círculo unitário associado a um ângulo
,
Ou seja: a coordenada
- do ponto é o cosseno e a coordenada
- é o seno. Isso vem da definição geométrica no círculo unitário: o ponto que resulta da rotação de um raio de comprimento
faz essas componentes.
Aplicando ao caso dado:
Passo 3
Verificação rápida da consistência com a identidade pitagórica.
Identidade que sempre vale para ângulos no círculo unitário:
Substituindo os valores:
Portanto os valores apresentados são consistentes com o ponto no círculo unitário.
Passo 4
Determinar em que quadrante está o ângulo
(isso ajuda a lembrar os sinais).
Regras práticas: no plano cartesiano,
- se
e está no quadrante I; - se
e está no quadrante II; - se
e está no quadrante III; - se
e está no quadrante IV.
Aqui
e
, logo
está no quadrante IV. Isso confirma os sinais que usaremos nas razões que envolvem sen e cos.
Passo 5
Calcular
(tangente) e
(cotangente).
Fórmulas que vou usar e explicar:
-
. Aqui a tangente é a razão entre seno e cosseno. -
. Cotangente é o recíproco da tangente.
Aplicando os valores:
É comum racionalizar denominadores; multiplicando numerador e denominador por
:
Agora a cotangente:
(ou diretamente
.)
Passo 6
Calcular
(secante) e
(cosecante).
Definições e explicação:
-
. A secante é o recíproco do cosseno. - A notação
é aqui a cosecante, usualmente escrita , e vale . É o recíproco do seno.
Aplicando:
Racionalizando:
Para a cosecante:
Passo 7
Resumo final dos valores calculados (cheque mental rápido dos sinais:
positivo porque
;
negativo porque
;
negativo no quadrante IV — tudo consistente).