Considerando que o ponto P que está no círculo unitário é o correspondente a um ângulo x encontre, sen x, \cos x, \operatorname{tg} x, \operatorname{cotg} x, \operatorname{sec} x e \operatorname{cossec} x :
\left(\frac{\sqrt{5}}{3},-\frac{2}{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá um ponto P do círculo unitário que corresponde a um ângulo x. O ponto é
P=\left(\frac{\sqrt{5}}{3},-\frac{2}{3}\right).
O que o problema pede: encontrar os valores de
\operatorname{sen} x, \cos x, \operatorname{tg} x, \operatorname{cotg} x, \operatorname{sec} x e \operatorname{cossec} x.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coordenadas de P: primeira componente \dfrac{\sqrt{5}}{3} e segunda componente -\dfrac{2}{3}.
  • Está explícito que P pertence ao círculo unitário (raio 1) e corresponde ao ângulo x.

Passo 2

Entendendo a relação entre o ponto no círculo unitário e as razões trigonométricas.
Regra essencial (explicar como usar): num ponto P=(a,b) do círculo unitário associado a um ângulo x,
\cos x = a,\qquad \operatorname{sen} x = b.
Ou seja: a coordenada x- do ponto é o cosseno e a coordenada y- é o seno. Isso vem da definição geométrica no círculo unitário: o ponto que resulta da rotação de um raio de comprimento 1 faz essas componentes.
Aplicando ao caso dado:
\cos x = \frac{\sqrt{5}}{3},\qquad \operatorname{sen} x = -\frac{2}{3}.

Passo 3

Verificação rápida da consistência com a identidade pitagórica.
Identidade que sempre vale para ângulos no círculo unitário:
\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1.
Substituindo os valores:
\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} = \frac{9}{9} = 1.
Portanto os valores apresentados são consistentes com o ponto no círculo unitário.

Passo 4

Determinar em que quadrante está o ângulo x (isso ajuda a lembrar os sinais).
Regras práticas: no plano cartesiano,
  • se \cos x>0 e \operatorname{sen} x>0 está no quadrante I;
  • se \cos x<0 e \operatorname{sen} x>0 está no quadrante II;
  • se \cos x<0 e \operatorname{sen} x<0 está no quadrante III;
  • se \cos x>0 e \operatorname{sen} x<0 está no quadrante IV.
Aqui \cos x=\dfrac{\sqrt{5}}{3}>0 e \operatorname{sen} x=-\dfrac{2}{3}<0, logo x está no quadrante IV. Isso confirma os sinais que usaremos nas razões que envolvem sen e cos.

Passo 5

Calcular \operatorname{tg} x (tangente) e \operatorname{cotg} x (cotangente).
Fórmulas que vou usar e explicar:
  • \operatorname{tg} x = \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}. Aqui a tangente é a razão entre seno e cosseno.
  • \operatorname{cotg} x = \dfrac{1}{\operatorname{tg} x} = \dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}. Cotangente é o recíproco da tangente.
Aplicando os valores:
\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \frac{-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{\sqrt{5}}{3}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}.
É comum racionalizar denominadores; multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5}:
\operatorname{tg} x = -\frac{2\sqrt{5}}{5}.
Agora a cotangente:
\operatorname{cotg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} = -\frac{\sqrt{5}}{2}.
(ou diretamente \dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x} = \dfrac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{2}.)

Passo 6

Calcular \operatorname{sec} x (secante) e \operatorname{cossec} x (cosecante).
Definições e explicação:
  • \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x}. A secante é o recíproco do cosseno.
  • A notação \operatorname{cossec} x é aqui a cosecante, usualmente escrita \csc x, e vale \operatorname{cossec} x = \dfrac{1}{\operatorname{sen} x}. É o recíproco do seno.
Aplicando:
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\dfrac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{3}{\sqrt{5}}.
Racionalizando:
\operatorname{sec} x = \frac{3\sqrt{5}}{5}.
Para a cosecante:
\operatorname{cossec} x = \frac{1}{\operatorname{sen} x} = \frac{1}{-\dfrac{2}{3}} = -\frac{3}{2}.

Passo 7

Resumo final dos valores calculados (cheque mental rápido dos sinais: \operatorname{sec} x positivo porque \cos x>0; \operatorname{cossec} x negativo porque \operatorname{sen} x<0; \operatorname{tg} x negativo no quadrante IV — tudo consistente).

Resposta

\operatorname{sen} x=-\dfrac{2}{3}
\cos x=\dfrac{\sqrt{5}}{3}
\operatorname{tg} x=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}
\operatorname{cotg} x=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}
\operatorname{sec} x=\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}
\operatorname{cossec} x=-\dfrac{3}{2}

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