Encontre o valor exato dos números:
\operatorname{sen}\left(405^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor exato de \operatorname{sen}\left(405^{\circ}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O ângulo é \,405^\circ.
  • O que se quer é o valor exato da função seno nesse ângulo (não uma aproximação decimal).

Passo 2

Ideia-chave que usamos na prova (conceito explicado): a função seno é periódica de período 360^\circ. Isso significa que para qualquer ângulo \theta vale
\sin(\theta+360^\circ)=\sin(\theta).
Intuição simples: adicionar 360^\circ equivale a dar uma volta inteira no círculo — volta-se ao mesmo ponto — então as coordenadas (logo o seno) não mudam.
Aplicando isso a \,405^\circ: subtrai-se 360^\circ para reduzir o ângulo a um ângulo coterminal no intervalo [0^\circ,360^\circ):
405^\circ-360^\circ=45^\circ.
Portanto
\sin(405^\circ)=\sin(45^\circ).

Passo 3

Verificação de sinal e posição no círculo: o ângulo \,45^\circ está no primeiro quadrante, onde o seno é positivo. Então não há mudança de sinal a considerar: \sin(45^\circ)>0.

Passo 4

Agora precisamos do valor exato de \sin(45^\circ). Explicação didática (triângulo notável): considere um triângulo retângulo isósceles de ângulos 45^\circ,45^\circ,90^\circ. Se as catetos valem 1 cada, o teorema de Pitágoras dá a hipotenusa:
\text{hipotenusa}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
No triângulo, \sin(45^\circ)=\dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Racionalizando (forma usual exata), multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{2}:
\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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