Sejam as funções
e
. Sabendo que
é bijetora e
é sobrejetora, considere as sentenças a seguir:
I-gof é injetora;
II -
é bijetora;
III-
é sobrejetora.
Assinalando com verdadeiro (V) ou falso (F) a cada sentença, obtém-se
(a) V-V-V
(b) V-V-F
(c) F-V-F
(d) F-F-V
(e) V-F-V
II -
III-
(a) V-V-V
(b) V-V-F
(c) F-V-F
(d) F-F-V
(e) V-F-V
Passo 1
O enunciado dá as duas funções
e
e as seguintes hipóteses:
-
é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora). -
é sobrejetora.
As sentenças a verificar são:
I - é injetora;
II - é bijetora;
III - é sobrejetora.
I -
II -
III -
O objetivo é afirmar, para cada uma das sentenças, se é Verdadeira (V) ou Falsa (F).
Passo 2
Relembrando as definições (passo-a-passo e com frase curta):
- Uma função
é injetora se, sempre que , então . Em palavras: não há dois elementos distintos com a mesma imagem. - Uma função
é sobrejetora se, para todo do contradomínio, existe no domínio tal que . Em palavras: tudo no contradomínio é atingido por alguma entrada. - Uma função é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora.
- Para composições:
. Propriedades úteis: - Se
e são sobrejetoras então é sobrejetora? Nem sempre; precisa checar quem é sobrejetor em qual posição. Há resultados específicos que vamos usar adiante. - Se
for bijetora então tem inversa , e isso permite aplicar quando aparecer numa igualdade com .
- Se
Não se resolve nada aqui além de deixar as definições claras; vamos aplicá-las nos próximos passos.
Passo 3
Análise da sentença III: "
é sobrejetora".
Prova direta usando as hipóteses:
- Queremos mostrar que, dado qualquer
, existe tal que . - Como
é sobrejetora, existe tal que . - Como
é bijetora, em particular é sobrejetora, logo existe tal que . - Então
.
Conclusão: para todoexiste com , logo é sobrejetora. Portanto a sentença III é Verdadeira.
Passo 4
Análise da sentença II: "
é bijetora".
Primeiro verificar se
é sobrejetora:
- Seja
. Como é sobrejetora (pois bijetora), existe tal que . - Como
é sobrejetora, existe tal que . - Assim
. Logo é sobrejetora. Então a parte “sobrejetora” de bijetividade está garantida.
Agora verificar a injetividade de
:
- Se
é bijetora então existe . Suponha . Aplicando dos dois lados obtemos . - Logo a injetividade de
equivale à injetividade de . - Mas o enunciado só garante que
é sobrejetora, não garante que seja injetora. Portanto pode falhar em ser injetora e assim não é forçosamente bijetora.
Para fixar a ideia, construímos um contraexemplo concreto no Passo 5. Conclusão parcial:
sempre é sobrejetora, mas não é necessariamente injetora; portanto
não é necessariamente bijetora. Assim a sentença II é Falsa (no sentido “nem sempre verdadeira”).
Passo 5
Contraexemplo explícito que mostra I e II podem ser falsos simultaneamente:
Definir
que é claramente bijetora (identidade).
Definir
por
Verificações:
-
, escolhe-se
e . Para , tem por exemplo com . Logo todo tem pré-imagem. -
não é injetora porque com .
Agora as composições com
identidade:
-
. Como não é injetora, não é injetora. Isso mostra que a sentença I (" é injetora") é falsa em geral. -
. Como não é injetora, também não é injetora, logo não é bijetora. Isso mostra que a sentença II (" é bijetora") é falsa em geral.
Este contraexemplo confirma que I e II podem ser falsos mesmo com
bijetora e
sobrejetora.]
Passo 6
Resumo final das verdades das sentenças:
- I (
é injetora): Falsa (exemplo acima). - II (
é bijetora): Falsa (é sobrejetora sempre, mas pode não ser injetora; exemplo acima). - III (
é sobrejetora): Verdadeira (prova direta no Passo 3).
Portanto a sequência é F - F - V, que corresponde à alternativa (d).
Resposta
(d) F-F-V