Sejam as funções f: I R \rightarrow I R e g: I R \rightarrow I R. Sabendo que f é bijetora e g é sobrejetora, considere as sentenças a seguir:
I-gof é injetora;
II - f o g é bijetora;
III- g o f é sobrejetora.
Assinalando com verdadeiro (V) ou falso (F) a cada sentença, obtém-se
(a) V-V-V
(b) V-V-F
(c) F-V-F
(d) F-F-V
(e) V-F-V

Passo 1

O enunciado dá as duas funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e as seguintes hipóteses:
  • f é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora).
  • g é sobrejetora.
As sentenças a verificar são:
I - g\circ f é injetora;
II - f\circ g é bijetora;
III - g\circ f é sobrejetora.
O objetivo é afirmar, para cada uma das sentenças, se é Verdadeira (V) ou Falsa (F).

Passo 2

Relembrando as definições (passo-a-passo e com frase curta):
  • Uma função h é injetora se, sempre que h(a)=h(b), então a=b. Em palavras: não há dois elementos distintos com a mesma imagem.
  • Uma função h é sobrejetora se, para todo y do contradomínio, existe x no domínio tal que h(x)=y. Em palavras: tudo no contradomínio é atingido por alguma entrada.
  • Uma função é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora.
  • Para composições: (g\circ f)(x)=g(f(x)). Propriedades úteis:
    • Se g e f são sobrejetoras então g\circ f é sobrejetora? Nem sempre; precisa checar quem é sobrejetor em qual posição. Há resultados específicos que vamos usar adiante.
    • Se f for bijetora então tem inversa f^{-1}, e isso permite aplicar f^{-1} quando aparecer numa igualdade com f.
Não se resolve nada aqui além de deixar as definições claras; vamos aplicá-las nos próximos passos.

Passo 3

Análise da sentença III: " g\circ f é sobrejetora".
Prova direta usando as hipóteses:
  • Queremos mostrar que, dado qualquer y\in\mathbb{R}, existe x\in\mathbb{R} tal que (g\circ f)(x)=y.
  • Como g é sobrejetora, existe z\in\mathbb{R} tal que g(z)=y.
  • Como f é bijetora, em particular é sobrejetora, logo existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=z.
  • Então (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(z)=y.
    Conclusão: para todo y existe x com (g\circ f)(x)=y, logo g\circ f é sobrejetora. Portanto a sentença III é Verdadeira.

Passo 4

Análise da sentença II: " f\circ g é bijetora".
Primeiro verificar se f\circ g é sobrejetora:
  • Seja y\in\mathbb{R}. Como f é sobrejetora (pois bijetora), existe z\in\mathbb{R} tal que f(z)=y.
  • Como g é sobrejetora, existe x\in\mathbb{R} tal que g(x)=z.
  • Assim f(g(x))=f(z)=y. Logo f\circ g é sobrejetora. Então a parte “sobrejetora” de bijetividade está garantida.
Agora verificar a injetividade de f\circ g:
  • Se f é bijetora então existe f^{-1}. Suponha (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2). Aplicando f^{-1} dos dois lados obtemos g(x_1)=g(x_2).
  • Logo a injetividade de f\circ g equivale à injetividade de g.
  • Mas o enunciado só garante que g é sobrejetora, não garante que g seja injetora. Portanto f\circ g pode falhar em ser injetora e assim não é forçosamente bijetora.
Para fixar a ideia, construímos um contraexemplo concreto no Passo 5. Conclusão parcial: f\circ g sempre é sobrejetora, mas não é necessariamente injetora; portanto f\circ g não é necessariamente bijetora. Assim a sentença II é Falsa (no sentido “nem sempre verdadeira”).

Passo 5

Contraexemplo explícito que mostra I e II podem ser falsos simultaneamente:
Definir f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) por \[f(x)=x,
que é claramente bijetora (identidade).
Definir g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
g(x)=\begin{cases} 0,& x=0\text{ ou }x=1,\\[4pt] x,& \text{caso contrário.} \end{cases}á
Verificações:
  • g\] é sobrejetora: dado \(y\neq 0, escolhe-se x=y e g(x)=y. Para y=0, tem por exemplo x=0 com g(0)=0. Logo todo y\in\mathbb{R} tem pré-imagem.
  • g não é injetora porque g(0)=g(1)=0 com 0\neq 1.
Agora as composições com f identidade:
  • g\circ f = g\circ \mathrm{id}=g. Como g não é injetora, g\circ f não é injetora. Isso mostra que a sentença I (" g\circ f é injetora") é falsa em geral.
  • f\circ g = \mathrm{id}\circ g = g. Como g não é injetora, f\circ g também não é injetora, logo não é bijetora. Isso mostra que a sentença II (" f\circ g é bijetora") é falsa em geral.
Este contraexemplo confirma que I e II podem ser falsos mesmo com f bijetora e g sobrejetora.]

Passo 6

Resumo final das verdades das sentenças:
  • I ( g\circ f é injetora): Falsa (exemplo acima).
  • II ( f\circ g é bijetora): Falsa (é sobrejetora sempre, mas pode não ser injetora; exemplo acima).
  • III ( g\circ f é sobrejetora): Verdadeira (prova direta no Passo 3).
Portanto a sequência é F - F - V, que corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) F-F-V

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