Sabendo-se que a=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}, \quad pode-se afirmar que o ângulo \theta, em radianos, tal que \operatorname{tg} \theta=\ln a-1, é
(a) -\frac{\pi}{4}
(b) -\frac{\pi}{2}
(c) \frac{3 \pi}{4}
(d) \frac{\pi}{4}
(e) \frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado dá a seguinte quantidade:
  • a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}.
A pergunta é:
  • Determinar o ângulo \theta, em radianos, tal que \operatorname{tg}\theta=\ln a-1, escolhendo a opção correta entre
    (a) -\dfrac{\pi}{4},
    (b) -\dfrac{\pi}{2},
    (c) \dfrac{3\pi}{4},
    (d) \dfrac{\pi}{4},
    (e) \dfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do limite. Reescrevendo a fração:
\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}.
Logo
a=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{x-1}\right)^{x}.

Passo 3

Faço a mudança de variável simples n=x-1. Quando x\to+\infty temos n\to+\infty. Em termos de n:
a=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n+1} =\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}\cdot\left(1+\frac{2}{n}\right).

Passo 4

Explico um limite padrão que vou usar: para qualquer constante u vale
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{u}{n}\right)^{n}=e^{u}.
Rápida justificativa: tomar logaritmo dá n\ln\!\left(1+\dfrac{u}{n}\right) e usar a expansão \ln(1+t)=t+o(t) quando t\to0, então n\ln(1+u/n)\to u, daí a exponencial dá e^{u}.
Aplicando com u=2:
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}=e^{2}.
Também \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{2}{n}\right)=1. Portanto, multiplicando,
a=e^{2}\cdot 1=e^{2}.

Passo 5

Calculo agora \ln a-1:
\ln a-1=\ln\left(e^{2}\right)-1=2-1=1.
Portanto a condição dada fica
\operatorname{tg}\theta=1.

Passo 6

Resolver \operatorname{tg}\theta=1. A tangente é periódica de período \pi e tem valor 1 para ângulos do tipo
\theta=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Das alternativas fornecidas, apenas \dfrac{\pi}{4} pertence a essa família (as outras dão \operatorname{tg} igual a -1, indefinida, etc.).

Passo 7

Concluímos que o ângulo \theta pedido é \dfrac{\pi}{4}.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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