Considerando o problema de isolamento de raízes, para cada função
e intervalo
abaixo, obtenha dois inteiros
e
tais que
e o intervalo
contém pelo menos uma raiz de
. O intervalo
deve estar contido em
, isto é,
. Calcule o valor de funções trigonométricas utilizando o argumento em radianos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar dois números inteiros, m e n, que são consecutivos (ou seja, n = m + 1), dentro do intervalo [2, 12]. Esses números devem formar um intervalo [m, n] que contenha pelo menos uma raiz da função dada, ou seja, onde
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a identificar se uma função cruza o eixo x em um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar os cálculos:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor de
nos inteiros dentro do intervalo [2, 12]. Vamos verificar onde a função muda de sinal, pois isso indica que passou por zero, ou seja, há uma raiz nesse intervalo.
Vamos calcular
para
a
:
Continuando esse processo até
:
Passo 4
Observamos que
e
são negativos, mas em
o valor é positivo. Vamos verificar outros pontos para identificar onde a função muda de negativo para positivo.
Por exemplo:
Então,
é positivo, e
deve ser calculado para ver a mudança:
Ainda positivo. Vamos para
:
Ainda positivo. Vamos para
:
Ainda positivo, mas quase chegando perto de zero. Agora, vamos para
:
Agora,
é negativo, e
é positivo.
Passo 5
Então, vimos que
é negativo (
) e
é positivo (
). Isso significa que a função
muda de negativo para positivo entre
e
.
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função é contínua em um intervalo e muda de sinal dentro desse intervalo, ela deve ter pelo menos uma raiz nesse intervalo. Como nossa função passou de negativa para positiva entre 4 e 5, podemos afirmar que existe pelo menos uma raiz no intervalo [4, 5].
Resposta
Os inteiros
e
satisfazem as condições, ou seja,
contém pelo menos uma raiz de
.