Considerando o problema de isolamento de raízes, para cada função f(x) e intervalo [a, b] abaixo, obtenha dois inteiros m e n tais que m=n-1 e o intervalo [m, n] contém pelo menos uma raiz de f(x). O intervalo [m, n] deve estar contido em [a, b], isto é, a <= m < n <= b. Calcule o valor de funções trigonométricas utilizando o argumento em radianos.
f(x)=2 x^-3+19 raizx^3-193.74
[2,12]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar dois números inteiros, m e n, que são consecutivos (ou seja, n = m + 1), dentro do intervalo [2, 12]. Esses números devem formar um intervalo [m, n] que contenha pelo menos uma raiz da função dada, ou seja, onde f(x) = 0 . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a identificar se uma função cruza o eixo x em um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos:
f(x) = 2x^-3 + 19raizx^3 - 193.74
Vamos simplificar essa expressão para facilitar os cálculos:
  1. 2x^-3 = 2x^3
  2. raizx^3 = x^1.5
Então, a função fica:
f(x) = 2x^3 + 19x^1.5 - 193.74

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de f(x) nos inteiros dentro do intervalo [2, 12]. Vamos verificar onde a função muda de sinal, pois isso indica que passou por zero, ou seja, há uma raiz nesse intervalo.
Vamos calcular f(x) para x = 2 a x = 12 :
f(2) = 22^3 + 19 times 2^1.5 - 193.74
f(2) = 28 + 19 times 2.828 - 193.74
f(2) = 0.25 + 53.732 - 193.74
f(2) approx -139.758
f(3) = 23^3 + 19 times 3^1.5 - 193.74
f(3) = 227 + 19 times 5.196 - 193.74
f(3) approx 0.074 + 98.724 - 193.74
f(3) approx -95.942
Continuando esse processo até x = 12 :
f(12) = 212^3 + 19 times 12^1.5 - 193.74
f(12) = 21728 + 19 times 41.569 - 193.74
f(12) approx 0.001 + 790.811 - 193.74
f(12) approx 597.072

Passo 4

Observamos que f(2) e f(3) são negativos, mas em f(12) o valor é positivo. Vamos verificar outros pontos para identificar onde a função muda de negativo para positivo.
Por exemplo:
f(8) = 28^3 + 19 times 8^1.5 - 193.74
f(8) = 2512 + 19 times 22.627 - 193.74
f(8) approx 0.0039 + 430.913 - 193.74
f(8) approx 237.176
Então, f(8) é positivo, e f(7) deve ser calculado para ver a mudança:
f(7) = 27^3 + 19 times 7^1.5 - 193.74
f(7) = 2343 + 19 times 18.520 - 193.74
f(7) approx 0.0058 + 351.88 - 193.74
f(7) approx 158.146
Ainda positivo. Vamos para f(6) :
f(6) = 26^3 + 19 times 6^1.5 - 193.74
f(6) = 2216 + 19 times 14.697 - 193.74
f(6) approx 0.0093 + 279.243 - 193.74
f(6) approx 85.512
Ainda positivo. Vamos para f(5) :
f(5) = 25^3 + 19 times 5^1.5 - 193.74
f(5) = 2125 + 19 times 11.180 - 193.74
f(5) approx 0.016 + 212.42 - 193.74
f(5) approx 18.696
Ainda positivo, mas quase chegando perto de zero. Agora, vamos para f(4) :
f(4) = 24^3 + 19 times 4^1.5 - 193.74
f(4) = 264 + 19 times 8 - 193.74
f(4) = 0.03125 + 152 - 193.74
f(4) approx -41.70875
Agora, f(4) é negativo, e f(5) é positivo.

Passo 5

Então, vimos que f(4) é negativo ( approx -41.71 ) e f(5) é positivo ( approx 18.70 ). Isso significa que a função f(x) muda de negativo para positivo entre x = 4 e x = 5 .
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função é contínua em um intervalo e muda de sinal dentro desse intervalo, ela deve ter pelo menos uma raiz nesse intervalo. Como nossa função passou de negativa para positiva entre 4 e 5, podemos afirmar que existe pelo menos uma raiz no intervalo [4, 5].

Resposta

Os inteiros m = 4 e n = 5 satisfazem as condições, ou seja, [4, 5] contém pelo menos uma raiz de f(x) .

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