Faça o que se pede:
Sejam f e g , funções deriváveis, dadas por f(x)=3 raiz[4]x^3 e g(x)=x^5-3 x^2. Use as regras de derivação para determinar a derivada da função h dada por h(x)=f(x)-2 g(x)g(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções deriváveis:
  • f(x) = 3 raiz[4]x^3
  • g(x) = x^5 - 3x^2
A função que a gente quer derivar é:
h(x) = f(x) - 2g(x)g(x)
Pra resolver isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra do quociente, que serve quando temos uma função dividida por outra. Também precisaremos saber derivar potências de x.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de h(x) . Podemos reescrever:
h(x) = 3 raiz[4]x^3 - 2(x^5 - 3x^2)x^5 - 3x^2
Isso ajuda a visualizar melhor o que estamos trabalhando.

Passo 3

Agora, vamos relembrar a regra do quociente. Se temos uma função h(x) = u(x)v(x) , então a derivada h'(x) é:
h'(x) = u'(x) v(x) - u(x) v'(x)[v(x)]^2
Aqui, u(x) = f(x) - 2g(x) e v(x) = g(x) . Precisamos achar u'(x) e v'(x) .

Passo 4

Vamos calcular u(x) = f(x) - 2g(x) :
u(x) = 3 raiz[4]x^3 - 2(x^5 - 3x^2)
Simplificando:
u(x) = 3x^3/4 - 2x^5 + 6x^2
Agora, vamos derivar u(x) . Lembrando que a derivada de x^n é n x^n-1 :
u'(x) = 3 cdot 34 x^3/4 - 1 - 2 cdot 5x^5-1 + 6 cdot 2x^2-1
u'(x) = 94 x^-1/4 - 10x^4 + 12x

Passo 5

Agora, vamos derivar v(x) = g(x) = x^5 - 3x^2 :
v'(x) = 5x^4 - 6x

Passo 6

Com u'(x) e v'(x) calculados, vamos aplicar a regra do quociente:
h'(x) = u'(x) v(x) - u(x) v'(x)[v(x)]^2
Substituindo:
h'(x) = ( 94 x^-1/4 - 10x^4 + 12x )(x^5 - 3x^2) - ( 3x^3/4 - 2x^5 + 6x^2 )(5x^4 - 6x)(x^5 - 3x^2)^2

Passo 7

Agora, podemos simplificar essa expressão, mas já que a pergunta pede a derivada, podemos deixar nesse formato. Se necessário, podemos expandir os termos, mas geralmente deixamos a expressão dessa forma para evitar complicações desnecessárias.

Resposta

A derivada da função h(x) é:
h'(x) = ( 94 x^-1/4 - 10x^4 + 12x )(x^5 - 3x^2) - ( 3x^3/4 - 2x^5 + 6x^2 )(5x^4 - 6x)(x^5 - 3x^2)^2

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