Questão 5. (10 pontos)

Encontre as coordenadas do centróide da região plana
A=(x, y) in R mid x^2+y^2 <= 4, x >= 0, y >= 0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede as coordenadas do centróide (tipo o “centro de massa” de uma lamina com densidade constante) da região
A = (x,y)inR^2 mid x^2+y^2<=4,;x>=0,;y>=0
Ou seja, é um quarto de círculo de raio 2 no 1º quadrante.
Matéria: cálculo de integrais duplas e centróide.
O que vamos precisar:
  1. Fórmula do centróide para densidade constante,
  2. Calcular área de A,
  3. Fazer integrais duplas (melhor em coordenadas polares).

Passo 2

Teoria do centróide (denso constante):
bar x = 1Área(A) integral duplaA x,dA, bar y = 1Área(A) integral duplaA y,dA ÁÁ
Primeiro, a área de um quarto de círculo de raio R=2 é
Área(A) = pi R^24 = picdot2^24 = pi Á

Passo 3

Vamos calcular My=integral duplaA x,dA em coordenadas polares:
  • Em polares: x=rhocostheta, y=rhosintheta, e o elemento de área dA=rho,drho,dtheta.
  • Limites: rho de 0 a 2, theta de 0 a tfracpi2.
    Então
My = integral duplaA x,dA = integraltheta=0^pi/2 !integralrho=0^2 (rhocostheta),(rho,drho,dtheta) = integral0^pi/2!costheta,dtheta integral0^2rho^2,drho
Calcule separadamente:
integral0^pi/2costheta,dtheta = l[sinthetar]0^pi/2 = 1, integral0^2rho^2,drho = l[tfracrho^33r]0^2 = 83
Logo
My = 1cdot83 = 83
E daí
bar x = MyÁrea(A) = tfrac83pi = 83pi Á

Passo 4

Por simetria (a região é igual trocando xrightarrow y), integral duplaA y,dA dá o mesmo valor tfrac83. Portanto
bar y = 8/3pi = 83pi

Resposta

As coordenadas do centróide são
boxedl(bar x,bar yr) = l(tfrac83pi,,tfrac83pir)

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