Questão 5. (10 pontos)
Encontre as coordenadas do centróide da região plana
Passo 1
Beleza, o enunciado pede as coordenadas do centróide (tipo o “centro de massa” de uma lamina com densidade constante) da região
Ou seja, é um quarto de círculo de raio
no 1º quadrante.
Matéria: cálculo de integrais duplas e centróide.
O que vamos precisar:
Matéria: cálculo de integrais duplas e centróide.
O que vamos precisar:
- Fórmula do centróide para densidade constante,
- Calcular área de
, - Fazer integrais duplas (melhor em coordenadas polares).
Passo 2
Teoria do centróide (denso constante):
Primeiro, a área de um quarto de círculo de raio
é
Passo 3
Vamos calcular
em coordenadas polares:
- Em polares:
, , e o elemento de área . - Limites:
de a , de a .
Então
Calcule separadamente:
Logo
E daí
Passo 4
Por simetria (a região é igual trocando
),
dá o mesmo valor
. Portanto
Resposta
As coordenadas do centróide são