Considerando o produto interno canônico, mostre que o conjunto abaixo é ortogonal.
B=(1,1,1),(1,-1,0),(3,3,-6)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
B = (1,1,1),;(1,-1,0),;(3,3,-6)
é ortogonal em R^3 usando o produto interno canônico. Para isso, lembramos que, para quaisquer vetores
x=(x1,x2,x3) e y=(y1,y2,y3) em R^3,
lang<= x,yrang<= = x1y1 + x2y2 + x3y3
Basta verificar que lang<= u,vrang<= = 0 para cada par distinto u,vin B.

Passo 2

Seja u=(1,1,1) e v=(1,-1,0). Então
lang<= u,vrang<= = 1cdot 1 + 1cdot(-1) + 1cdot 0 = 1 - 1 + 0 = 0

Passo 3

Seja u=(1,1,1) e w=(3,3,-6). Então
lang<= u,wrang<= = 1cdot 3 + 1cdot 3 + 1cdot(-6) = 3 + 3 - 6 = 0

Passo 4

Seja v=(1,-1,0) e w=(3,3,-6). Então
lang<= v,wrang<= = 1cdot 3 + (-1)cdot 3 + 0cdot(-6) = 3 - 3 + 0 = 0

Passo 5

Como lang<= u,vrang<= = lang<= u,wrang<= = lang<= v,wrang<= = 0, concluímos que todos os vetores em B são mutuamente ortogonais.

Resposta

O conjunto B é ortogonal.

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