(ii) Se
é invertível, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz
é invertível, então ela não pode ser a matriz nula. O conteúdo aqui é Álgebra Linear: usamos a definição de matriz invertível (existência de inversa) e a propriedade de que a multiplicação de qualquer matriz pela nula dá a nula.
Passo 2
Por hipótese,
é invertível. Isso significa que existe uma matriz
tal que
onde
é a matriz identidade de mesma ordem de
.
Suponha, para obter contradição, que seja a matriz nula, isto é,
. Então, ao multiplicar
por
, temos
Suponha, para obter contradição, que
Passo 3
Mas da definição de inversa temos
. Logo,
o que é impossível, pois a matriz identidade
tem entradas iguais a
na diagonal e
fora dela, não sendo a matriz nula.
Como chegamos a uma contradição ao assumir , concluímos que a hipótese era falsa. Portanto, uma matriz invertível
não pode ser a matriz nula.
Como chegamos a uma contradição ao assumir
Resposta
Se
é invertível, então
.