Suponha que det [llla & b & c d & e & f g & h & i]=8. Encontre det[llle+h & 2 h & 3 b+e f+i & 2 i & 3 c+f d+g & 2 g & 3 a+d] edet[llld-g & 3 g & 2 a+d f-i & 3 i & 2 c+f e-h & 3 h & 2 b+e].

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = a & b & c d & e & f g & h & i
com det(A)=8, e pede o produto
det(M1),det(M2),
onde
M1= e+h & 2h & 3b+e f+i & 2i & 3c+f d+g & 2g & 3a+d , M2= d-g & 3g & 2a+d f-i & 3i & 2c+f e-h & 3h & 2b+e
Vamos usar o fato de que cada det(Mj) é um polinômio homogêneo de grau 3 nas entradas de A e muda de sinal se permutarmos duas linhas de A; logo
det(Mj)=kjdet(A)
para constantes k1,k2.

Passo 2

Para achar k1, escolhemos uma A simples com det(A)=1. Por exemplo
A=diag(1,1,1)=1&0&00&1&00&0&1,
de modo que det(A)=1. Então
M1= 1+0 & 0 & 3cdot0+1 0+1 & 2cdot1 & 3cdot0+0 0+0 & 2cdot0 & 3cdot1+0 =1&0&11&2&00&0&3,
cujo determinante é
det(M1)=1cdot(2cdot3)-0+1cdot0=6
Como det(A)=1, segue k1=6, ou seja
det(M1)=6det(A)

Passo 3

De modo análogo, usando a mesma A=diag(1,1,1) em M2 temos
M2= 0 & 0 & 2cdot1+0 0-1&3cdot1&0 1-0&0&2cdot0+1 =0&0&2-1&3&01&0&1,
e
det(M2) =0-0+2det-1&31&0 =2l((-1)cdot0-3cdot1r)=-6
Como det(A)=1, isso mostra k2=-6, ou seja
det(M2)=-6det(A)

Passo 4

Voltando ao caso geral, com det(A)=8, obtemos
det(M1)=6det(A)=6cdot8=48, det(M2)=-6det(A)=-6cdot8=-48

Passo 5

Logo o produto procurado é
det(M1),det(M2) =48cdot(-48) =-2304

Resposta

-2304

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