Suponha que det
. Encontre
det[llle+h & 2 h & 3 b+e f+i & 2 i & 3 c+f d+g & 2 g & 3 a+d] edet[llld-g & 3 g & 2 a+d f-i & 3 i & 2 c+f e-h & 3 h & 2 b+e] .
Passo 1
O enunciado dá a matriz
com
det(A)=8 , e pede o produto
onde
Vamos usar o fato de que cada
det(Mj) é um polinômio homogêneo de grau 3 nas entradas de
A e muda de sinal se permutarmos duas linhas de
A ; logo
para constantes
k1,k2 .
Passo 2
Para achar
k1 , escolhemos uma
A simples com
det(A)=1 . Por exemplo
de modo que
det(A)=1 . Então
cujo determinante é
Como
det(A)=1 , segue
k1=6 , ou seja
Passo 3
De modo análogo, usando a mesma
A=diag(1,1,1) em
M2 temos
e
Como
det(A)=1 , isso mostra
k2=-6 , ou seja
Passo 4
Voltando ao caso geral, com
det(A)=8 , obtemos
Passo 5
Logo o produto procurado é