Considerando que a radiação gama com frequência de 3 \times 10^{20} \mathrm{~Hz} ejetou um elétron através do espalhamento Compton com um ângulo de 75^{\circ}, encontre o comprimento de onda do fóton ejetado.

Passo 1

O enunciado diz que um fóton gama de frequência \,f=3\times10^{20}\,\mathrm{Hz} sofre espalhamento Compton com ângulo de espalhamento \theta=75^\circ ejectando um elétron. O que queremos é o comprimento de onda \lambda' do fóton após o espalhamento. Vamos usar a fórmula do efeito Compton, que dá o aumento de comprimento de onda em função do ângulo de espalhamento.

Passo 2

Primeiro, calculamos o comprimento de onda inicial \lambda do fóton a partir de \lambda=c/f.
\lambda = \frac{c}{f}
onde c=3{,}0\times10^8\,\mathrm{m/s} e f=3\times10^{20}\,\mathrm{Hz}. Logo,
\lambda = \frac{3{,}0\times10^8}{3\times10^{20}} =1{,}0\times10^{-12}\,\mathrm{m}.

Passo 3

A variação de comprimento de onda \Delta\lambda=\lambda'-\lambda no espalhamento Compton é dada por
\Delta\lambda = \frac{h}{m_e\,c}\bigl(1-\cos\theta\bigr),
onde \,h=6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}, \,m_e=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg} e \theta=75^\circ. O parâmetro \lambda_C=\tfrac{h}{m_e\,c} é o comprimento de onda Compton do elétron:
\lambda_C = \frac{6{,}626\times10^{-34}}{9{,}11\times10^{-31}\cdot3{,}0\times10^8} \approx2{,}426\times10^{-12}\,\mathrm{m}.
Também \cos75^\circ\approx0{,}2588. Então
\Delta\lambda =2{,}426\times10^{-12}\,(1-0{,}2588) \approx2{,}426\times10^{-12}\times0{,}7412 \approx1{,}80\times10^{-12}\,\mathrm{m}.

Passo 4

Finalmente, o comprimento de onda do fóton espalhado é
\lambda' = \lambda + \Delta\lambda =1{,}0\times10^{-12} + 1{,}80\times10^{-12} \approx2{,}8\times10^{-12}\,\mathrm{m}.

Resposta

O comprimento de onda do fóton ejetado é aproximadamente
\lambda' \approx 2{,}8\times10^{-12}\,\mathrm{m}.

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