Considerando a relação de recorrência da equação de Legendre, e a normalização P_{n}(1)=1, calcule P_{6}(x) e P_{7}(x).

Passo 1

O enunciado pede os polinômios de Legendre P_{6}(x) e P_{7}(x) usando a relação de recorrência
(n+1)P_{n+1}(x) \;=\;(2n+1)\,x\,P_{n}(x)\;-\;n\,P_{n-1}(x)
com normalização P_{n}(1)=1. As condições iniciais são
P_{0}(x)=1,\quad P_{1}(x)=x.

Passo 2

Usando n=1 e n=2:
2P_{2}(x)=3xP_{1}(x)-1\cdot P_{0}(x) \;\Longrightarrow\; P_{2}(x)=\frac{1}{2}\bigl(3x^{2}-1\bigr),
3P_{3}(x)=5xP_{2}(x)-2P_{1}(x) \;\Longrightarrow\; P_{3}(x)=\frac{1}{2}\bigl(5x^{3}-3x\bigr).

Passo 3

Usando n=3 e n=4:
4P_{4}(x)=7xP_{3}(x)-3P_{2}(x) \;\Longrightarrow\; P_{4}(x)=\frac{1}{8}\bigl(35x^{4}-30x^{2}+3\bigr),
5P_{5}(x)=9xP_{4}(x)-4P_{3}(x) \;\Longrightarrow\; P_{5}(x)=\frac{1}{8}\bigl(63x^{5}-70x^{3}+15x\bigr).

Passo 4

Agora n=5:
6P_{6}(x)=11xP_{5}(x)-5P_{4}(x).
Substituindo P_{5} e P_{4} e simplificando, obtém-se
P_{6}(x)=\frac{1}{16}\bigl(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5\bigr).

Passo 5

Por fim n=6:
7P_{7}(x)=13xP_{6}(x)-6P_{5}(x).
Fazendo a substituição e simplificando, chega-se a
P_{7}(x)=\frac{1}{16}\bigl(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x\bigr).

Resposta

P_{6}(x)=\frac{1}{16}\bigl(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5\bigr),
P_{7}(x)=\frac{1}{16}\bigl(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x\bigr).

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