Resolva as EDOs lineares homogêneas de 2^{\underline{\mathrm{a}}} ordem com coeficientes variáveis, utilizando séries de potência:
\left(x^{2}+2\right) y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-y=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a EDO linear homogênea de segunda ordem
(x^2+2)\,y'' + 3x\,y' - y = 0,
e precisamos encontrar a solução geral usando séries de potência centradas em x=0. Para isso, vamos assumir uma série para y e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes.

Passo 2

Assumimos a solução em série de potência:
y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n.
Então
y'(x) = \sum_{n=1}^\infty n\,a_n\,x^{n-1}, \quad y''(x) = \sum_{n=2}^\infty n(n-1)\,a_n\,x^{n-2}.
Substituindo em (x^2+2)y'' + 3x\,y' - y = 0, obtemos quatro somas:
x^2 y'' = \sum_{n=2}^\infty n(n-1)\,a_n\,x^n, \qquad 2y'' = 2\sum_{n=2}^\infty n(n-1)\,a_n\,x^{n-2},
3x y' = 3\sum_{n=1}^\infty n\,a_n\,x^n, \qquad -y = -\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n.

Passo 3

Para reunir tudo em potências de x^n, reindexamos a soma de 2y'' definindo n\to n+2:
2\sum_{n=2}^\infty n(n-1)\,a_n\,x^{n-2} = 2\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^n.
As demais somas já estão em x^n. O coeficiente de x^n na equação é
n(n-1)a_n \;+\; 3n a_n \;-\; a_n \;+\; 2(n+2)(n+1)a_{n+2} = 0.
Como n(n-1)+3n-1 = n^2+2n-1, a relação de recorrência fica
a_{n+2} = -\frac{n^2 + 2n - 1}{2(n+2)(n+1)} \;a_n, \quad n\ge0.

Passo 4

A recorrência liga a_{n+2} a a_n, gerando duas séries independentes: uma para os termos pares (a partir de a_0) e outra para os termos ímpares (a partir de a_1). Calculando os primeiros coeficientes:
Para os índices pares:
a_2 = \frac{1}{4}a_0, \quad a_4 = -\frac{7}{96}a_0,
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y_{\mathrm{e}}(x) = a_0\Bigl(1 + \tfrac{1}{4}x^2 - \tfrac{7}{96}x^4 + \cdots\Bigr).
Para os índices ímpares:
a_3 = -\frac{1}{6}a_1, \quad a_5 = \frac{7}{120}a_1,
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y_{\mathrm{o}}(x) = a_1\Bigl(x - \tfrac{1}{6}x^3 + \tfrac{7}{120}x^5 + \cdots\Bigr).
Essas duas séries formam uma base de soluções.

Passo 5

A solução geral da EDO é a combinação linear das duas séries independentes:
y(x) = C_1\,y_{\mathrm{e}}(x) + C_2\,y_{\mathrm{o}}(x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1\Bigl(1 + \tfrac{1}{4}x^2 - \tfrac{7}{96}x^4 + \cdots\Bigr) + C_2\Bigl(x - \tfrac{1}{6}x^3 + \tfrac{7}{120}x^5 + \cdots\Bigr).

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