Resolva as EDOs lineares homogêneas de
ordem com coeficientes variáveis, utilizando séries de potência:
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a EDO linear homogênea de segunda ordem
e precisamos encontrar a solução geral usando séries de potência centradas em
. Para isso, vamos assumir uma série para
e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes.
Passo 2
Assumimos a solução em série de potência:
Então
Substituindo em
, obtemos quatro somas:
Passo 3
Para reunir tudo em potências de
, reindexamos a soma de
definindo
:
As demais somas já estão em
. O coeficiente de
na equação é
Como
, a relação de recorrência fica
Passo 4
A recorrência liga
a
, gerando duas séries independentes: uma para os termos pares (a partir de
) e outra para os termos ímpares (a partir de
). Calculando os primeiros coeficientes:
Para os índices pares:
logo
Para os índices ímpares:
logo
Essas duas séries formam uma base de soluções.
Passo 5
A solução geral da EDO é a combinação linear das duas séries independentes:
onde
e
são constantes arbitrárias.