Considere a cônica 3 y^{2}-18 y-x+25=0. Escreva a equação reduzida, identifique todas características e esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
3y^{2}-18y - x + 25 = 0
e pede que a coloquemos na forma reduzida, identifiquemos suas características (tipo, vértice, eixo, foco, diretriz, parámetro, latus rectum) e esbocemos o gráfico. Vamos usar completamento de quadrado para obter a forma padrão de uma parábola.

Passo 2

Isolamos x em função de y e completamos o quadrado no termo em y:
3y^{2}-18y - x + 25 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 3y^{2} - 18y + 25.
Agrupando e completando quadrado:
x = 3\bigl(y^{2} - 6y\bigr) + 25 = 3\bigl[(y - 3)^{2} - 9\bigr] + 25 = 3(y - 3)^{2} - 27 + 25 = 3(y - 3)^{2} - 2.
Logo,
x + 2 = 3(y - 3)^{2} \quad\Longrightarrow\quad (y - 3)^{2} = \tfrac{1}{3}(x + 2).

Passo 3

Da forma
(y - k)^{2} = 4p\,(x - h)
vemos que h = -2, k = 3 e
4p = \tfrac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad p = \tfrac{1}{12}.
Isto mostra que a cônica é uma parábola com vértice em
(h,k) = (-2,\,3)
e eixo paralelo ao eixo x, isto é, a reta
y = 3.

Passo 4

As demais características da parábola são:
o foco está a distância p do vértice ao longo do eixo, ou seja,
F = \bigl(h + p,\;k\bigr) = \Bigl(-2 + \tfrac{1}{12},\;3\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{23}{12},\,3\Bigr).
A diretriz é a reta a distância p no lado oposto do vértice:
x = h - p \quad\Longrightarrow\quad x = -2 - \tfrac{1}{12} = -\tfrac{25}{12}.
O latus rectum é o segmento perpendicular ao eixo que passa pelo foco, com comprimento \lvert4p\rvert = \tfrac{1}{3}. Como o eixo é horizontal, o latus rectum é vertical e tem extremidades
\Bigl(-\tfrac{23}{12},\;3 \pm \tfrac{1}{6}\Bigr).

Passo 5

Esboçando:
  • O vértice em (-2,3).
  • A parábola abre para a direita (coeficiente de (y-3)^2 positivo).
  • O foco ligeiramente à direita do vértice, em \bigl(-23/12,3\bigr).
  • A diretriz vertical em x=-25/12.
  • O latus rectum vertical de altura 1/3 centrado em y=3.
Em um esboço no plano xy, marcamos esses pontos e desenhamos a curva para a direita a partir de (-2,3), passando pelo foco e contida entre as duas extremidades do latus rectum.

Resposta

A forma reduzida é
(y - 3)^{2} = \tfrac{1}{3}\,(x + 2).
É uma parábola horizontal com
vértice (-2,3),
eixo y=3,
foco \bigl(-23/12,\,3\bigr),
diretriz x=-25/12,
parâmetro p=1/12
e latus rectum de comprimento 1/3, cujos extremos são \bigl(-23/12,\,3\pm1/6\bigr).

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