Considerando as retas r: a x+b y+c=0 e s: a^{\prime} x+b^{\prime} y+c^{\prime}=0 dadas por suas equações cartesianas, prove que:
(a) se a=\lambda a^{\prime}, b=\lambda b^{\prime} e c=\lambda c^{\prime} para algum \lambda \in \mathbb{R}, as retas são coincidentes;
(b) se a=\lambda a^{\prime}, b=\lambda b^{\prime} e c \neq \lambda c^{\prime} para algum \lambda \in \mathbb{R}, as retas são paralelas (e não coincidentes);
(c) se não existe \lambda \in \mathbb{R} tal que a=\lambda a^{\prime} e b=\lambda b^{\prime}, as retas são concorrentes.
Passo 1
O enunciado dá duas retas
\text{r: }a x + b y + c = 0\quad\text{e}\quad \text{s: }a' x + b' y + c' = 0
e pede para mostrar que, comparando os vetores normais (a,b) e (a',b') e os termos independentes c e c', temos três casos: coincidência, paralelismo estrito ou interseção única. Vamos usar que duas retas coincidem quando suas equações são múltiplos uma da outra, que são paralelas quando têm normais proporcionais mas diferentes termos independentes, e que se os normais não são proporcionais então o sistema tem única solução (determinante não nulo), logo as retas se cruzam num ponto só.
Passo 2
Suponha que existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
a = \lambda a',\quad b = \lambda b',\quad c = \lambda c'.
Então a equação de \text{r} pode ser escrita multiplicando a de \text{s} por \lambda:
a x + b y + c = \lambda (a' x + b' y + c') = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a' x + b' y + c' = 0.
Isso mostra que todo ponto de \text{r} satisfaz \text{s} e vice-versa, ou seja, as retas são coincidentes.
Passo 3
Suponha agora que existe \lambda com
a = \lambda a',\quad b = \lambda b',\quad c \neq \lambda c'.
Então os vetores normais (a,b) e (a',b') são proporcionais, logo as retas têm a mesma direção (são paralelas). Mas como c\neq\lambda c', não dá para escrever uma equação como múltiplo da outra, logo não coincidem. Concluímos que são paralelas e distintas.
Passo 4
Finalmente, suponha que não existe \lambda\) tal que
\[a = \lambda a'\quad\text{e}\quad b = \lambda b'.
Isto significa que (a,b) e (a',b') não são colineares, então o determinante
\Delta = \begin{vmatrix} a & b\\\ a'& b' \end{vmatrix} = a b' - a' b
é diferente de zero. Pelo Teorema de Cramer, o sistema
\begin{cases} a x + b y + c = 0,\\\ a' x + b' y + c' = 0 \end{cases}
tem solução única ((x,y)]. Isso significa que as retas se cruzam exatamente num ponto: são concorrentes.
Resposta
(a) Se a=\lambda a', b=\lambda b' e c=\lambda c', então as retas são coincidentes.
(b) Se a=\lambda a', b=\lambda b' e c\neq\lambda c', então as retas são paralelas e não coincidentes.
(c) Se não existe \lambda com a=\lambda a' e b=\lambda b', então as retas se intersectam num ponto único (são concorrentes).