Determine se as retas r_{1} e r_{2} são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=3+3 t \\\ y=1+\frac{1}{2} t\end{array} ; t \in \mathbb{R}\right. e r_{2}: x-6 y=3 ;

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^2\): a reta \(r_1\) em forma paramétrica \[r_{1}:\begin{cases} x = 3 + 3t,\\\ y = 1 + \tfrac12 t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R},
e a reta r_2\] em forma implícita \[r_{2}: x - 6y = 3.\] Para classificar se são paralelas, coincidentes ou concorrentes, vamos usar estas ideias: 1. O vetor direção de \(r_1 é \mathbf{v}_1=(3,\tfrac12).
2. A reta r_2 tem vetor normal \mathbf{n}_2=(1,-6), logo seu vetor direção é ortogonal a \mathbf{n}_2.
3. Se \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{n}_2=0, então r_1 e r_2 são paralelas (ou coincidentes). Caso contrário, são concorrentes e há interseção.

Passo 2

Calcular o produto escalar
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{n}_2 = (3)\cdot(1) + \bigl(\tfrac12\bigr)\cdot(-6) = 3 - 3 = 0.
Como o produto escalar é zero, concluímos que r_1 e r_2 são paralelas ou coincidentes.

Passo 3

Para ver se coincidem, basta checar se algum ponto de r_1 satisfaz a equação de r_2. Tomemos t=0 em r_1, obtendo o ponto
P = (3,1).
Substituindo em x - 6y = 3 temos
3 - 6\cdot1 = -3 \neq 3,
logo P não pertence a r_2. Como não há nenhum ponto comum, as retas são paralelas e distintas.

Resposta

As retas são paralelas e distintas.

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