Determine se as retas r_{1} e r_{2} são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=-t \\\ y=8+\frac{3}{2} t\end{array} ; t \in \mathbb{R}\right. e r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=4+4 s \\\ y=2-6 s\end{array} ; s \in \mathbb{R}\right..

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica no plano:
r_{1}\): \[\begin{cases} x = -t,\\\ y = 8 + \tfrac32\,t \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}
e
(r_{2}]:
\begin{cases} x = 4 + 4s,\\\ y = 2 - 6s \end{cases} \quad s\in\mathbb{R}
Precisamos determinar se elas são paralelas, coincidentes ou concorrentes (e, nesse caso, encontrar o ponto de interseção).

Passo 2

Extraímos de cada reta um vetor diretor e um ponto.
Para r_{1}, um ponto é P_1 = r_{1}(0) = (0,8) e o vetor diretor é
v_1 = \bigl(x'(t),y'(t)\bigr) = (-1,\tfrac32).
Para r_{2}, um ponto é P_2 = r_{2}(0) = (4,2) e o vetor diretor é
v_2 = (4,-6).

Passo 3

Verificamos se v_1 e v_2 são colineares, checando a razão entre componentes:
\frac{v_{1x}}{v_{2x}} = \frac{-1}{4} \quad\text{e}\quad \frac{v_{1y}}{v_{2y}} = \frac{\tfrac32}{-6} = -\tfrac14.
Como as duas razões são iguais a -\tfrac14, temos v_2 = -4\,v_1. Logo as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para decidir entre paralelas ou coincidentes, basta ver se um ponto de r_{1} pertence a r_{2}. Tomamos P_1=(0,8) e tentamos resolver para s em
4 + 4s = 0,
o que dá s=-1. Nesse valor, em r_{2} obtemos
y = 2 -6(-1) = 8,
portanto P_1 também está em r_{2}. Isso mostra que r_{1} e r_{2} coincidam.

Resposta

As retas são coincidentes.

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