Verifique se as retas
r_{1}: 2 x+y=1, \quad r_{2}: 6 x+3 y=2 \quad \text { e } \quad r_{3}: 4 x+2 y=2,
são paralelas ou coincidentes.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as retas
r_{1}:2x+y=1,\quad r_{2}:6x+3y=2,\quad r_{3}:4x+2y=2
são paralelas ou coincidentes. O conteúdo principal aqui é comparação de coeficientes e cálculo de declive (coeficiente angular) de cada reta.

Passo 2

Reescrevemos cada reta no formato y=mx+b para obter o coeficiente angular m:
r_{1}:2x+y=1\;\Longrightarrow\;y=-2x+1,\quad m_{1}=-2.
r_{2}:6x+3y=2\;\Longrightarrow\;3y=-6x+2\;\Longrightarrow\;y=-2x+\tfrac{2}{3},\quad m_{2}=-2.
r_{3}:4x+2y=2\;\Longrightarrow\;2y=-4x+2\;\Longrightarrow\;y=-2x+1,\quad m_{3}=-2.

Passo 3

Como m_{1}=m_{2}=m_{3}=-2, todas as três retas têm o mesmo coeficiente angular, logo são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para distinguir paralelas de coincidentes, comparamos as proporções dos coeficientes de cada reta na forma ax+by=c.
Entre r_{1} e r_{3}:
\frac{a_{1}}{a_{3}}=\frac{2}{4}=\tfrac12,\quad \frac{b_{1}}{b_{3}}=\frac{1}{2}=\tfrac12,\quad \frac{c_{1}}{c_{3}}=\frac{1}{2}=\tfrac12,
todos os três quocientes são iguais, então r_{1} e r_{3} são coincidentes.
Entre r_{1} e r_{2}:
\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{6}=\tfrac13,\quad \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{3}=\tfrac13,\quad \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{1}{2}\neq\tfrac13,
os três quocientes não coincidem, logo r_{1} e r_{2} são apenas paralelas (não coincidentes). O mesmo vale para r_{2} e r_{3}.

Resposta

r_{1} e r_{3} são coincidentes; r_{2} é paralela a r_{1} (e a r_{3}).

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