Discuta em função de m e p a posição relativa das retas:
\begin{aligned} & r: m x+y=p, \\\ & s: 3 x+3 y=7 . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para discutir, em função de m e p, a posição relativa das retas
r: m x + y = p,
s: 3x + 3y = 7.
É um problema de geometria analítica no plano: vamos comparar os coeficientes angulares (declividades) para ver se são concorrentes, paralelas ou coincidentes.

Passo 2

Obtemos a declividade de cada reta isolando y. Para r:
y = -m x + p,
logo a declividade é -m. Para s, dividimos por 3:
x + y = \tfrac{7}{3}\quad\Longrightarrow\quad y = -x + \tfrac{7}{3},
cuja declividade é -1.
Se -m \neq -1, isto é, m \neq 1, as declividades são diferentes e as retas se cortam em um único ponto.

Passo 3

Se m = 1, ambas têm declividade -1, logo são paralelas ou coincidentes. A reta r fica
x + y = p.
Multiplicando por 3 obtemos
3x + 3y = 3p.
Comparando com s\colon3x+3y=7:
  • Se 3p \neq 7 (ou seja, p \neq \tfrac{7}{3}), as retas são paralelas e distintas.
  • Se 3p = 7 (ou seja, p = \tfrac{7}{3}), as equações coincidem, logo as retas são coincidentes.

Resposta

Para m\neq1, as retas se intersectam num ponto único.
Para m=1 e p\neq\tfrac{7}{3}, as retas são paralelas e distintas.
Para m=1 e p=\tfrac{7}{3}, as retas são coincidentes.

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