Considerando a seguinte amostra:
lllllllllllllll 19,8 & 18,5 & 17,6 & 16,7 & 15,8 & 15,4 & 14,1 & 13,6 & 11,9 & 11,4 & 11,4 & 8,8 & 7,5 & 15,4 & 15,4 19,5 & 14,9 & 12,7 & 11,9 & 11,4 & 10,1 & 7,9 & & & & & & & &
Obtenha um intervalo de 95 % de confiança para o desvio padrão populacional.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma amostra de dados e precisa encontrar um intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão da população. Isso faz parte da estatística inferencial, onde usamos dados da amostra para fazer afirmações sobre a população. Para resolver isso, vamos precisar calcular a variância da amostra, entender a distribuição qui-quadrado e aplicar as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que você forneceu. Temos os seguintes valores na amostra:
19,8; 18,5; 17,6; 16,7; 15,8; 15,4; 14,1; 13,6; 11,9; 11,4; 11,4; 8,8; 7,5; 15,4; 15,4; 19,5; 14,9; 12,7; 11,9; 11,4; 10,1; 7,9

Passo 3

Vamos contar quantos dados temos na amostra para determinar o tamanho da amostra $ n $. Contando os valores, vemos que $ n = 22 $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a média da amostra $ \bar{x} $. Somando todos os valores e dividindo por $ n $:
barx
Calculando isso, a média $ \bar{x} $ é aproximadamente 13,11.

Passo 5

Em seguida, precisamos calcular a variância da amostra $ s^2 $. A fórmula para a variância é:
s^2
Isso significa que subtraímos a média de cada valor, elevamos ao quadrado, somamos todos esses resultados e dividimos por $ n - 1 $.

Passo 6

Calculando $ s^2 $, obtemos aproximadamente $ s^2 = 14,5 $.

Passo 7

Para encontrar o intervalo de confiança para a variância, usamos a distribuição qui-quadrado ($ \chi^2 $). A fórmula é:
chi^2
Onde $ \alpha = 1 - 0,95 = 0,05 $ para um intervalo de confiança de 95%, e $ \chi^2 $ são os valores críticos da distribuição qui-quadrado com $ n-1 $ graus de liberdade.

Passo 8

Vamos buscar os valores críticos $ \chi^2_{0,025,21} $ e $ \chi^2_{0,975,21} $ na tabela qui-quadrado para $ n - 1 = 21 $ graus de liberdade. Supondo que:
chi^20,025,21
chi^20,975,21

Passo 9

Agora, substituímos os valores na fórmula do intervalo para a variância:
( 21 times 14,534,170, 21 times 14,510,283 ) approx ( 8,93, 29,68 )

Passo 10

Para encontrar o intervalo de confiança para o desvio padrão, basta tirar a raiz quadrada dos limites inferiores e superiores do intervalo da variância:
( raiz8,93, raiz29,68 ) approx ( 2,99, 5,45 )

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão populacional é aproximadamente entre 2,99 e 5,45.

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