Considerando a seguinte amostra:
Obtenha um intervalo de
de confiança para o desvio padrão populacional.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma amostra de dados e precisa encontrar um intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão da população. Isso faz parte da estatística inferencial, onde usamos dados da amostra para fazer afirmações sobre a população. Para resolver isso, vamos precisar calcular a variância da amostra, entender a distribuição qui-quadrado e aplicar as fórmulas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que você forneceu. Temos os seguintes valores na amostra:
Passo 3
Vamos contar quantos dados temos na amostra para determinar o tamanho da amostra $ n $. Contando os valores, vemos que $ n = 22 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a média da amostra $ \bar{x} $. Somando todos os valores e dividindo por $ n $:
Calculando isso, a média $ \bar{x} $ é aproximadamente 13,11.
Passo 5
Em seguida, precisamos calcular a variância da amostra $ s^2 $. A fórmula para a variância é:
Isso significa que subtraímos a média de cada valor, elevamos ao quadrado, somamos todos esses resultados e dividimos por $ n - 1 $.
Passo 6
Calculando $ s^2 $, obtemos aproximadamente $ s^2 = 14,5 $.
Passo 7
Para encontrar o intervalo de confiança para a variância, usamos a distribuição qui-quadrado ($ \chi^2 $). A fórmula é:
Onde $ \alpha = 1 - 0,95 = 0,05 $ para um intervalo de confiança de 95%, e $ \chi^2 $ são os valores críticos da distribuição qui-quadrado com $ n-1 $ graus de liberdade.
Passo 8
Vamos buscar os valores críticos $ \chi^2_{0,025,21} $ e $ \chi^2_{0,975,21} $ na tabela qui-quadrado para $ n - 1 = 21 $ graus de liberdade. Supondo que:
Passo 9
Agora, substituímos os valores na fórmula do intervalo para a variância:
Passo 10
Para encontrar o intervalo de confiança para o desvio padrão, basta tirar a raiz quadrada dos limites inferiores e superiores do intervalo da variância:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão populacional é aproximadamente entre 2,99 e 5,45.