Fazendo um levantamento sobre a qualidade da água, foi testada a pureza da água em 20 córregos selecionados ao acaso, obtendo-se um desvio padrão de 5 grãos/litro.
Construa um intervalo de 95 % de confiança para a variância populacional e obtenha também um intervalo de 95% de confiança para o desvio padrão populacional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a qualidade da água em 20 córregos, onde medimos o desvio padrão como sendo 5 grãos por litro. Nosso objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 95% para a variância da população e também para o desvio padrão populacional. Para isso, vamos usar a distribuição qui-quadrado, que é ótima para esse tipo de problema envolvendo variância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar os dados que temos:
  • Tamanho da amostra ( n): 20
  • Desvio padrão da amostra ( s): 5 grãos/litro
Queremos encontrar um intervalo de confiança de 95% para a variância ( sigma^2) e para o desvio padrão populacional ( sigma).

Passo 3

Para construir o intervalo de confiança para a variância, usamos a distribuição qui-quadrado ( chi^2). A fórmula para os limites do intervalo é:
( (n-1)s^2chi^2alpha/2, , n-1, (n-1)s^2chi^21-alpha/2, , n-1 )
Aqui:
  • n-1 são os graus de liberdade.
  • alpha é o nível de significância (como queremos 95%, alpha = 0,05).
  • chi^2alpha/2, , n-1 e chi^21-alpha/2, , n-1 são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para os percentis alpha/2 e 1-alpha/2, respectivamente.

Passo 4

Vamos encontrar os valores críticos da distribuição qui-quadrado para n-1 = 19 graus de liberdade e alpha = 0,05:
  • chi^20,025, , 19 approx 32,852
  • chi^20,975, , 19 approx 8,907
Esses valores podem ser encontrados em tabelas de distribuição qui-quadrado ou usando uma calculadora estatística.

Passo 5

Agora, vamos calcular o intervalo para a variância ( sigma^2):
( (20-1) times 5^232,852, (20-1) times 5^28,907 ) = ( 19 times 2532,852, 19 times 258,907 )
Calculando:
( 47532,852 approx 14,46, 4758,907 approx 53,31 )
Então, o intervalo de confiança para a variância é aproximadamente (14,46 , grãos^2/litro^2, , 53,31 , grãos^2/litro^2)ãã.

Passo 6

Para encontrar o intervalo de confiança para o desvio padrão ( sigma), basta tirar a raiz quadrada dos limites do intervalo de variância:
( raiz14,46 approx 3,80 , grãos/litro, raiz53,31 approx 7,30 , grãos/litro ) ãã

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a variância populacional é aproximadamente (14,46 , grãos^2/litro^2, , 53,31 , grãos^2/litro^2)ãã e para o desvio padrão populacional é aproximadamente (3,80 , grãos/litro, , 7,30 , grãos/litro)ãã.

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