Considerando a seguinte distribuição de frequência:
Classes 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30
F_{i} 3 5 8 3 1
Pede-se:
a) A média ponderada amostral da variável x .
b) A variância amostral \mathbf{S}^{\mathbf{2}} \mathbf{e} o desvio padrão amostral \mathbf{S} da variável \mathbf{x}.
c) Testar Ho: \sigma^{2}(x)=10 contra H1: \sigma^{2}(x) \neq 10. Admita \alpha=5 \%.

Passo 1

O enunciado dá uma variável x agrupada em classes [5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30) com frequências f_i. Vamos aproximar os valores de x pelos pontos médios das classes, calcular a média amostral
\bar x = \frac{\sum f_i x_i}{n}
e em seguida a variância amostral
S^2 = \frac{\sum f_i(x_i - \bar x)^2}{n-1},
onde n=\sum f_i. Por fim, faremos o teste qui-quadrado para
H_0:\sigma^2=10\quad\text{vs.}\quad H_1:\sigma^2\neq10
com nível de significância \alpha=0,05, usando o estatístico
\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}.

Passo 2

Calculamos os pontos médios x_i e \sum f_i x_i:
x_i = 7,5,\;12,5,\;17,5,\;22,5,\;27,5,
\sum f_i x_i = 3\cdot7,5 + 5\cdot12,5 + 8\cdot17,5 + 3\cdot22,5 + 1\cdot27,5 = 320,
e n = 3+5+8+3+1 = 20. Logo
\bar x = \frac{320}{20} = 16.

Passo 3

Calculamos \sum f_i(x_i - \bar x)^2:
\sum f_i(x_i - 16)^2 =3\cdot(7,5-16)^2 + 5\cdot(12,5-16)^2 + 8\cdot(17,5-16)^2
\quad +3\cdot(22,5-16)^2 +1\cdot(27,5-16)^2 =555.
Assim
S^2 = \frac{555}{20-1} = \frac{555}{19}\approx29,21,
S = \sqrt{29,21}\approx5,40.

Passo 4

Em H_0 usamos
\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{10} = \frac{19\cdot29,21}{10} = 55,5.
Para \alpha=0,05 e 19 graus de liberdade os valores críticos são
\chi^2_{0,975;19}\approx8,907,\quad \chi^2_{0,025;19}\approx32,852.
Como 55,5 >32,852, cai na região de rejeição. Rejeitamos H_0.

Resposta

a) \bar x = 16.
b) S^2 \approx 29,21 e S \approx 5,40.
c) \chi^2 = 55,5, como excede \chi^2_{0,025;19}=32,852, rejeita-se H_0 ao nível de 5\%.

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