Uma unidade do departamento de polícia, que funciona em um campus universitário, recebe por semana uma média de 3,7 registros de carteiras de identidade perdidas pelos alunos.
a. Encontre a probabilidade de que no máximo um desses registros venha a ser recebido durante uma determinada semana por essa delegacia. Utilize a fórmula da distribuição de probabilidades de Poisson.
b. Utilizando a tabela de probabilidades de Poisson, encontre a probabilidade de que, durante uma determinada semana, o número de tais registros recebidos por essa delegacia de polícia seja
i. de 1 a 4
ii. pelo menos 6
iii. no máximo 3

Passo 1

O enunciado diz que o número de registros de carteiras perdidas por semana segue uma distribuição de Poisson com média \lambda=3,7. Precisamos:
  • (a) calcular \Pr(X\le1) usando a fórmula da Poisson;
  • (b) usar a tabela de Poisson para \lambda=3,7 e encontrar
    i. \Pr(1\le X\le4),
    ii. \Pr(X\ge6),
    iii. \Pr(X\le3).

Passo 2

A distribuição de Poisson tem
\Pr(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}.
Para \lambda=3,7:
\Pr(X=0)=e^{-3,7},\qquad \Pr(X=1)=e^{-3,7}\cdot3,7.
Numericamente, e^{-3,7}\approx0,0247 e e^{-3,7}\cdot3,7\approx0,0915. Logo,
\Pr(X\le1)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\approx0,0247+0,0915=0,1162.

Passo 3

Da tabela de Poisson com \lambda=3,7 obtemos as probabilidades acumuladas:
F(3)=\Pr(X\le3)\approx0,4943,\quad F(4)=\Pr(X\le4)\approx0,6878,\quad F(5)=\Pr(X\le5)\approx0,8310.

Passo 4

Para i. \Pr(1\le X\le4)=\Pr(X\le4)-\Pr(X=0).
Substituindo,
\Pr(1\le X\le4)\approx0,6878-0,0247=0,6631.

Passo 5

Para ii. \Pr(X\ge6)=1-\Pr(X\le5).
Logo,
\Pr(X\ge6)\approx1-0,8310=0,1690.

Passo 6

Para iii. é direto da tabela:
\Pr(X\le3)=F(3)\approx0,4943.

Resposta

a. \Pr(X\le1)\approx0,1162
b.i. \Pr(1\le X\le4)\approx0,6631
b.ii. \Pr(X\ge6)\approx0,1690
b.iii. \Pr(X\le3)\approx0,4943

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