Seis jurados devem ser selecionados, em um grupo de 20 candidatos potenciais, para participar do julgamento de uma ação cível que envolve duas famílias. Como fato desconhecido para o juiz ou qualquer um dos advogados, 4 dos 20 possíveis jurados estão potencialmente impedidos, por terem ligação com um ou mais dos litigantes. Eles não vão ter conhecimento desse fato durante o processo de seleção do júri. Caso 6 jurados sejam aleatoriamente selecionados a partir desse grupo de 20, encontre a probabilidade de que o número de jurados potencialmente impedidos, entre os 6 jurados selecionados, seja
a. exatamente 1
b. nenhum
c. no máximo 2

Passo 1

Temos um total de 20 candidatos, dos quais 4 estão potencialmente impedidos e 16 não impedidos. Vamos escolher aleatoriamente 6 jurados sem conhecer quem são os impedidos. O número de impedidos selecionados segue uma distribuição hipergeométrica. Precisamos calcular
– a probabilidade de exatamente 1 impedido;
– a probabilidade de nenhum impedido;
– a probabilidade de no máximo 2 impedidos.

Passo 2

Seja X o número de jurados impedidos entre os 6 sorteados. Pela distribuição hipergeométrica, para k=0,1,\dots,4,
P(X = k) \;=\;\frac{\binom{4}{k}\,\binom{16}{6-k}}{\binom{20}{6}}.
Aqui \binom{4}{k} escolhe k impedidos, \binom{16}{6-k} escolhe os demais não impedidos, e \binom{20}{6} é o número total de formas de escolher 6 jurados.

Passo 3

Para exatamente 1 impedido, tomamos k=1:
P(X=1) =\frac{\binom{4}{1}\,\binom{16}{5}}{\binom{20}{6}} =\frac{4\cdot 4368}{38760} \approx 0{,}4509.

Passo 4

Para nenhum impedido, k=0:
P(X=0) =\frac{\binom{4}{0}\,\binom{16}{6}}{\binom{20}{6}} =\frac{1\cdot 8008}{38760} \approx 0{,}2067.

Passo 5

Para no máximo 2 impedidos, somamos k=0,1,2:
P(X\le2) =\sum_{k=0}^{2}\frac{\binom{4}{k}\,\binom{16}{6-k}}{\binom{20}{6}} =\frac{8008 + 17472 + 10920}{38760} =\frac{36400}{38760} \approx 0{,}9392.

Resposta

a. \displaystyle P(X=1)=\frac{\binom{4}{1}\binom{16}{5}}{\binom{20}{6}}\approx0{,}4509
b. \displaystyle P(X=0)=\frac{\binom{4}{0}\binom{16}{6}}{\binom{20}{6}}\approx0{,}2067
c. \displaystyle P(X\le2)=\sum_{k=0}^2\frac{\binom{4}{k}\binom{16}{6-k}}{\binom{20}{6}}\approx0{,}9392

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