Um laboratório fez oito determinações da quantidade de impurezas em porções de certo composto. Os valores eram: 12,4; 12,6; 12,0; 12,0; 12,1; 12,3; 12,5; е 12,7 mg. Pede-se:
a) a média ponderada amostral da variável x .
b) a variância amostra S^{2} e o desvio padrão amostral S da variável x.
c)Testar a hipótese de que a variância \sigma^{2}(x)=1, ao nível de \alpha=0,05 e \alpha=0,10, contra H1: \sigma^{2}(x)<1.

Passo 1

O enunciado dá n=8 observações da quantidade de impurezas (em mg):
12,4;\;12,6;\;12,0;\;12,0;\;12,1;\;12,3;\;12,5;\;12,7.
Pede-se
a) a média amostral \bar{x},
b) a variância amostral S^2 e o desvio padrão amostral S,
c) testar H_0:\sigma^2=1 vs.\ H_1:\sigma^2<1 nos níveis \alpha=0,05 e \alpha=0,10.
Vamos usar estatística descritiva básica e o teste qui-quadrado para variância.

Passo 2

Como não há pesos diferentes, a média ponderada coincide com a média aritmética:
\bar x = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^8 x_i = \frac{12,4+12,6+12,0+12,0+12,1+12,3+12,5+12,7}{8} = \frac{98,6}{8} =12,325\text{ mg}.

Passo 3

A variância amostral é
S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^8 (x_i-\bar x)^2 =\frac{0,515}{7} \approx0,0736\;(\text{mg}^2),
onde \sum(x_i-\bar x)^2=0,515 foi obtido calculando-se cada (x_i-12,325)^2.

Passo 4

O desvio padrão amostral é
S = \sqrt{S^2} \approx \sqrt{0,0736} \approx 0,271\text{ mg}.

Passo 5

Para testar H_0:\sigma^2=1 contra H_1:\sigma^2<1 usamos
\chi^2_{\rm obs} =\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} =\frac{7\cdot0,0736}{1} =0,515.
A região crítica (cauda esquerda) é \chi^2\le\chi^2_{\alpha;7}, onde
\chi^2_{0,05;7}=1,690 e \chi^2_{0,10;7}=2,167.
Como 0,515<1,690 e também 0,515<2,167, rejeitamos H_0 em ambos os níveis.

Resposta

a) \bar x=12,325 mg.
b) S^2\approx0,0736 mg ^2 e S\approx0,271 mg.
c) Estatística \chi^2_{\rm obs}=0,515. Rejeita-se H_0 para \alpha=0,05 e \alpha=0,10, concluindo que \sigma^2<1.

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