Considerando as seguintes permutações do grupo S6
sigma=(cccccc 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 2 ) de<a=(cccccc 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 5 & 2 & 4 & 3 & 1 & 6 )
determine:
de<a^2 sigma.

Passo 1

O enunciado dá duas permutações em S6:
sigma= 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 2 , de<a= 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 5 & 2 & 4 & 3 & 1 & 6 ,
e pede de<a^2sigma. Para resolver, precisamos saber calcular a potência de uma permutação (compô-la consigo mesma) e depois compor duas permutações, lembrando que a notação de<a^2sigma significa primeiro aplicar sigma e depois de<a^2.

Passo 2

Vamos calcular de<a^2=de<acircde<a. Para cada iin1,dots,6 temos:
de<a(1)&=5, de<a(5)=1impliesde<a^2(1)=1, de<a(2)&=2, de<a(2)=2impliesde<a^2(2)=2, de<a(3)&=4, de<a(4)=3impliesde<a^2(3)=3, de<a(4)&=3, de<a(3)=4impliesde<a^2(4)=4, de<a(5)&=1, de<a(1)=5impliesde<a^2(5)=5, de<a(6)&=6, de<a(6)=6impliesde<a^2(6)=6
Logo,
de<a^2= 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 ,
que é a permutação identidade.

Passo 3

Como de<a^2 é a identidade, ao compô-la com sigma temos
de<a^2sigma = id,circ,sigma = sigma

Passo 4

Podemos também escrever sigma em notação cíclica. Vendo o mapeamento
1to3,3to4,4to5,5to6,6to2,2to1,
obtemos o ciclo único de comprimento 6:
sigma=(1;3;4;5;6;2)

Resposta

de<a^2sigma = 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 2 ou (1;3;4;5;6;2)

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