Considerando as seguintes permutações do grupo S6
sigma=(cccccc 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 2 ) de<a=(cccccc 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 5 & 2 & 4 & 3 & 1 & 6 )
determine:
de<a^1993.

Passo 1

O enunciado pede para calcular de<a^1993, onde de<ain S6 é dada por
de<a= 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 5 & 2 & 4 & 3 & 1 & 6
O conteúdo principal aqui é escrever de<a em ciclo, determinar sua ordem e usar a propriedade
de<a^k+ell m=(de<a^m)^ell,de<a^k
para reduzir o expoente.

Passo 2

Vamos ver como de<a age em cada elemento de 1,2,3,4,5,6:
1 vai para 5, e 5 vai de volta para 1, formando o ciclo (1,5).
3 vai para 4, e 4 volta para 3, formando o ciclo (3,4).
Os pontos 2 e 6 ficam fixos.
Logo
de<a=(1,5)(3,4)

Passo 3

Cada ciclo (1,5) e (3,4) tem comprimento 2, então
ord(de<a)=mcm(2,2)=2,
o que implica de<a^2=id.

Passo 4

Como de<a^2=id, basta reduzir o expoente 1993 módulo 2:
1993 bmod 2 = 1
Portanto
de<a^1993=de<a^2cdot 996 +1=(de<a^2)^996,de<a^1=id,de<a=de<a

Resposta

de<a^1993 = 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 5 & 2 & 4 & 3 & 1 & 6 ;=;(1,5)(3,4)

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