Considerando as seguintes permutações do grupo S6
sigma=(cccccc 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 2 ) de<a=(cccccc 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 5 & 2 & 4 & 3 & 1 & 6 )
determine:
sigma^2024.

Passo 1

O enunciado pede para calcular sigma^2024, onde
sigma= 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 2
O conteúdo aqui é teoria de permutações: vamos decompor sigma em ciclos, usar que elevar um ciclo de comprimento n a uma potência k equivale a reduzir k módulo n, e depois compor o resultado.

Passo 2

Vamos encontrar a decomposição cíclica de sigma. Seguindo a órbita de 1:
1mapsto3,;3mapsto4,;4mapsto5,;5mapsto6,;6mapsto2,;2mapsto1,
portanto
sigma=(1;3;4;5;6;2),
um ciclo de comprimento 6.

Passo 3

Para elevar sigma à potência 2024 basta notar que num ciclo de comprimento 6 vale
sigma^2024=sigma^,2024bmod6
Como 2024=6cdot337+2, temos 2024bmod6=2. Logo
sigma^2024=sigma^2

Passo 4

Agora calculamos sigma^2. Se sigma=(1;3;4;5;6;2), então
sigma^2=(1;sigma(3);sigma^2(1))cdots
mais diretamente podemos reescrever o ciclo de 6 elementos ao quadrado como produto de dois 3-ciclos:
sigma^2=(1;4;6)(3;5;2)
Em notação bidimensional, isso equivale a
sigma^2 = 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 4 & 3 & 5 & 6 & 2 & 1

Resposta

sigma^2024=(1;4;6)(3;5;2).

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