Beleza, vamos lá! A gente tem quatro vetores no espaço :
A pergunta é: Esses vetores juntos conseguem “preencher” todo o espaço ? Ou seja, será que qualquer vetor em pode ser formado combinando esses quatro vetores? Para descobrir isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, span (geração) e independência linear.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa que os vetores geram . Isso quer dizer que, usando combinações lineares desses vetores, podemos chegar a qualquer ponto no espaço . Para verificar isso, uma maneira eficiente é montar uma matriz com esses vetores como colunas e ver se essa matriz tem posto (rank) igual a 4.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores como colunas:
Queremos saber se as colunas dessa matriz são linearmente independentes. Se forem, o posto da matriz será 4, o que significa que os vetores geram R^4.
Passo 4
Para verificar a independência linear, podemos calcular o determinante da matriz A . Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
O determinante deu 0, o que indica que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 6
Como os vetores são linearmente dependentes, o posto da matriz A é menor que 4. Isso significa que eles não conseguem gerar todo o espaço R^4. Ou seja, existe pelo menos um vetor em R^4 que não pode ser formado por combinações lineares dos vetores v1, v2, v3, v4 .
Resposta
Não, os vetores v1, v2, v3, v4 não geram R^4, pois são linearmente dependentes e não conseguem “preencher” todo o espaço.