Considere o subespaço de R^4 gerado pelos vetores
v1=(1,0,1,1), v2=(2,1,-1,1), v3=(1,0,1,0) e v4=(0,0,0,1)
Podemos afirmar que [v1, v2, v3, v4]=R^4 ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem quatro vetores no espaço R^4:
v1=(1,0,1,1), v2=(2,1,-1,1), v3=(1,0,1,0) e v4=(0,0,0,1)
A pergunta é: Esses vetores juntos conseguem “preencher” todo o espaço R^4? Ou seja, será que qualquer vetor em R^4 pode ser formado combinando esses quatro vetores? Para descobrir isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, span (geração) e independência linear.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que os vetores geram R^4. Isso quer dizer que, usando combinações lineares desses vetores, podemos chegar a qualquer ponto no espaço R^4. Para verificar isso, uma maneira eficiente é montar uma matriz com esses vetores como colunas e ver se essa matriz tem posto (rank) igual a 4.

Passo 3

Vamos montar a matriz A com os vetores v1, v2, v3, v4 como colunas:
A = 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 1
Queremos saber se as colunas dessa matriz são linearmente independentes. Se forem, o posto da matriz será 4, o que significa que os vetores geram R^4.

Passo 4

Para verificar a independência linear, podemos calcular o determinante da matriz A . Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 1
Observando que há zeros na segunda e quarta colunas, podemos expandir o determinante para facilitar.

Passo 5

Calculando o determinante:
det(A) = 1 cdot 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 - 2 cdot 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 + 1 cdot 0 & 1 & 0 1 & -1 & 0 1 & 1 & 1 - 0 cdot (outra matriz) = 1 cdot (1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 0 + 0) - 2 cdot 0 + 1 cdot (0 cdot ( -1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) + 0) = 1 cdot 1 - 2 cdot 0 + 1 cdot (-1) = 1 - 0 -1 = 0
O determinante deu 0, o que indica que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 6

Como os vetores são linearmente dependentes, o posto da matriz A é menor que 4. Isso significa que eles não conseguem gerar todo o espaço R^4. Ou seja, existe pelo menos um vetor em R^4 que não pode ser formado por combinações lineares dos vetores v1, v2, v3, v4 .

Resposta

Não, os vetores v1, v2, v3, v4 não geram R^4, pois são linearmente dependentes e não conseguem “preencher” todo o espaço.

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