Considerando os seguintes valores:
\begin{array}{cccr} X_{1}=2 & X_{2}=6 & X_{3}=7 & X_{4}=9 \\\ Y_{1}=1 & Y_{2}=4 & Y_{3}=5 & Y_{4}=11 \end{array}
Calcular:
\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=2}^{4}\left(X_{i}+2\right)

Passo 1

O enunciado fornece os valores
X_{1}=2,\;X_{2}=6,\;X_{3}=7,\;X_{4}=9
e pede para calcular a soma dupla
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=2}^{4}(X_{i}+2).
O conteúdo envolvido é soma dupla e a propriedade de linearidade da soma, especialmente quando um termo independe de um dos índices.

Passo 2

Observe que, dentro da soma interna, o termo (X_{i}+2) não depende de j. Logo, ao somar sobre j=2,3,4, teremos três parcelas idênticas para cada i. Portanto,
\sum_{j=2}^{4}(X_{i}+2)=3\,(X_{i}+2).

Passo 3

Substituindo esse resultado na soma sobre i, obtemos
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=2}^{4}(X_{i}+2) =\sum_{i=1}^{3}3\,(X_{i}+2) =3\sum_{i=1}^{3}(X_{i}+2).

Passo 4

Agora, separamos a soma:
\sum_{i=1}^{3}(X_{i}+2) =\sum_{i=1}^{3}X_{i}+\sum_{i=1}^{3}2 =(2+6+7)+(3\cdot2) =15+6 =21.

Passo 5

Multiplicando por 3, temos
3\sum_{i=1}^{3}(X_{i}+2) =3\cdot21 =63.

Resposta

63

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