Considerando os seguintes valores:
\begin{array}{cccr} X_{1}=2 & X_{2}=6 & X_{3}=7 & X_{4}=9 \\\ Y_{1}=1 & Y_{2}=4 & Y_{3}=5 & Y_{4}=11 \end{array}
Calcular:
\sum_{i=2}^{4} \sum_{j=2}^{3} 3\left(X_{i}-Y_{j}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o somatório duplo
\sum_{i=2}^{4}\sum_{j=2}^{3}3\bigl(X_{i}-Y_{j}\bigr),
onde temos amostras X_1,\dots,X_4 e Y_1,\dots,Y_4. O conteúdo é manipulação de somatórios e álgebra simples.

Passo 2

Recapitulando os valores relevantes:
X_{2}=6,\quad X_{3}=7,\quad X_{4}=9,
Y_{2}=4,\quad Y_{3}=5.

Passo 3

Para um i fixo, a soma interna em j é
\sum_{j=2}^{3}3\bigl(X_{i}-Y_{j}\bigr) =3\bigl((X_{i}-Y_{2})+(X_{i}-Y_{3})\bigr).

Passo 4

Somando Y_{2}+Y_{3}=4+5=9, temos
3\bigl((X_{i}-4)+(X_{i}-5)\bigr) =3\bigl(2X_{i}-9\bigr) =6X_{i}-27.

Passo 5

Agora somamos sobre i=2,3,4:
\sum_{i=2}^{4}(6X_{i}-27) =6\sum_{i=2}^{4}X_{i}-3\cdot27.
Como X_{2}+X_{3}+X_{4}=6+7+9=22, resulta
6\cdot22-81=132-81=51.

Resposta

51

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