Se f(x) é a função cuja inversa é
f^{-1}(x)=\frac{x}{4}+3
então a expressão de f(x) corresponde a
(A) 4 x-12.
(B) f(x)=\frac{4}{x}+\frac{1}{3}.
(C) f(x)=\frac{4}{x+12}.
(D) f(x)=-\frac{x}{4}-3.

Passo 1

O enunciado dá que a inversa de f é
f^{-1}(x)=\frac{x}{4}+3.
A pergunta é: qual expressão corresponde a f(x)? As alternativas são:
(A) 4x-12.
(B) f(x)=\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{3}.
(C) f(x)=\dfrac{4}{x+12}.
(D) f(x)=-\dfrac{x}{4}-3.

Passo 2

Conceito importante (rápido e prático): se uma função g é a inversa de f, então aplicar f depois de g devolve a entrada, e vice-versa. Em símbolos:
f(g(x))=x\quad\text{e}\quad g(f(x))=x.
Outra maneira útil de pensar: o inverso troca as coordenadas (x,y) no gráfico. Logo, para obter f a partir de f^{-1} podemos trocar x e y na expressão de f^{-1} e resolver para y.

Passo 3

Aplicando essa técnica: seja
y=f^{-1}(x)=\frac{x}{4}+3.
Agora trocamos x e y (porque a inversa troca as coordenadas), obtendo a relação entre x e y que define f:
x=\frac{y}{4}+3.

Passo 4

Resolver a equação acima para y (que será f(x)). Primeiro subtraio 3 dos dois lados:
x-3=\frac{y}{4}.
Agora multiplico por 4 dos dois lados para isolar y:
y=4(x-3).
Expandindo,
y=4x-12.
Portanto a função original é f(x)=4x-12.

Passo 5

Cheque rápido por composição (para ter certeza): calcule f(f^{-1}(x)).
f\big(f^{-1}(x)\big)=f\!\left(\frac{x}{4}+3\right)=4\!\left(\frac{x}{4}+3\right)-12 = x+12-12 = x.
Também
f^{-1}\big(f(x)\big)=\frac{4x-12}{4}+3 = x-3+3 = x.
Como as duas composições retornam x, a função encontrada está correta.

Resposta

(A) 4x-12

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