Considerando as sequências \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) definidas por
a_{n}=\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3} \quad \text { e } \quad b_{n}=e^{-\frac{n}{n+1}}
calcule os seguintes limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(b_{n}\right)^{3 / 2}

Passo 1

O enunciado fornece as sequências
a_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+3}
e
b_{n}=e^{-\frac{n}{n+1}}
e pede para calcular
\lim_{n\to+\infty}\bigl(b_{n}\bigr)^{3/2}.
O conteúdo usado será propriedades de limites de sequência exponencial e continuidade da função e^{x}.

Passo 2

Primeiro, examinamos o expoente de b_{n}:
-\frac{n}{n+1} = -\frac{n+1-1}{n+1} = -\Bigl(1 - \frac{1}{n+1}\Bigr).
Como n\to+\infty, temos \tfrac{1}{n+1}\to0, logo
\lim_{n\to+\infty}\Bigl(-\frac{n}{n+1}\Bigr) = -1.

Passo 3

Usando a continuidade da função exponencial,
\lim_{n\to+\infty}b_{n} =\lim_{n\to+\infty}e^{-\frac{n}{n+1}} =e^{\lim_{n\to+\infty}\bigl(-\frac{n}{n+1}\bigr)} =e^{-1}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite à potência 3/2. Como a função x\mapsto x^{3/2} é contínua em x>0, temos
\lim_{n\to+\infty}\bigl(b_{n}\bigr)^{3/2} =\Bigl(\lim_{n\to+\infty}b_{n}\Bigr)^{3/2} =(e^{-1})^{3/2} =e^{-\tfrac{3}{2}}.

Resposta

\lim_{n\to+\infty}\bigl(b_{n}\bigr)^{3/2}=e^{-\tfrac{3}{2}}.

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