Considerando as sequências \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) definidas por
a_{n}=\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3} \quad \text { e } \quad b_{n}=e^{-\frac{n}{n+1}}
calcule os seguintes limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n}}{4 b_{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá duas sequências
a_{n} = \frac{n^{2} + 1}{2n^{2} + 3} \quad\text{e}\quad b_{n} = \exp\Bigl(-\frac{n}{n+1}\Bigr)
e pede o limite
\lim_{n\to+\infty} \frac{a_{n}}{4\,b_{n}}.
O conteúdo aqui é cálculo de limites de sequência, usando propriedades de operações com limites e a continuidade da função exponencial.

Passo 2

Calculamos primeiro
\lim_{n\to+\infty} a_{n} =\lim_{n\to+\infty}\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+3} =\lim_{n\to+\infty}\frac{n^{2}\bigl(1+\frac{1}{n^{2}}\bigr)}{n^{2}\bigl(2+\frac{3}{n^{2}}\bigr)} =\frac{1+0}{2+0} =\frac12.

Passo 3

Agora obtemos
\lim_{n\to+\infty} b_{n} =\lim_{n\to+\infty}\exp\Bigl(-\frac{n}{n+1}\Bigr) =\exp\Bigl(-\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}\Bigr) =\exp(-1) =\frac{1}{e}.

Passo 4

Usamos a propriedade de limites de quociente (e que 4 é constante):
\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n}}{4\,b_{n}} =\frac{\lim a_{n}}{4\,\lim b_{n}} =\frac{\tfrac12}{4\cdot \tfrac{1}{e}} =\frac{1/2}{4/e} =\frac{1}{2}\cdot\frac{e}{4} =\frac{e}{8}.

Resposta

\frac{e}{8}.

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