Resolva as seguintes integrais:
\int \frac{8 x-9}{(x-3)(x+2)} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida.
\int \frac{8x-9}{(x-3)(x+2)}\,dx
O método mais direto é usar decomposição em frações parciais para funções racionais.

Passo 2

Vamos assumir a decomposição
\frac{8x-9}{(x-3)(x+2)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+2}
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+2), vem
A(x+2) + B(x-3) = 8x - 9

Passo 3

Expandindo o numerador, obtemos
(A + B)x + (2A - 3B) = 8x - 9
Igualando coeficientes, forma-se o sistema
\begin{cases} A + B = 8,\\\\ 2A - 3B = -9 \end{cases}
cuja solução é
A = 3,\quad B = 5

Passo 4

Substituindo A e B na decomposição, o integrando fica
\frac{8x-9}{(x-3)(x+2)} = \frac{3}{x-3} + \frac{5}{x+2}
e a integral se separa em
\int \frac{3}{x-3}\,dx + \int \frac{5}{x+2}\,dx

Passo 5

Usando a regra \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C, cada termo integra-se assim:
3\ln|x-3| \quad\text{e}\quad 5\ln|x+2|

Resposta

3\ln|x-3| + 5\ln|x+2| + C

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