Resolva as seguintes integrais:
\int \frac{3 x-2}{x^{3}-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{3x - 2}{x^{3} - x^{2}}\,dx
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais, pois temos uma função racional cujo denominador é um polinômio que pode ser fatorado.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{3} - x^{2} = x^{2}(x - 1).
Em seguida escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{3x - 2}{x^{2}(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x - 1}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x-1)\) para obter uma igualdade de polinômios: \[3x - 2 = A\bigl(x^{2} - x\bigr) + B\,(x - 1) + C\,x^{2}.
Expandindo,
3x - 2 = (A + C)\,x^{2} + (-A + B)\,x + (-B).
Comparando coeficientes em cada potência de x:
\begin{cases} A + C = 0,\\\\ -\,A + B = 3,\\\\ -\,B = -2. \end{cases}
Da terceira equação vem B = 2\]. Substituindo na segunda dá \(-A + 2 = 3, logo A = -1. Então C = -A = 1.

Passo 4

Portanto
\frac{3x - 2}{x^{2}(x - 1)} = -\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x - 1}.
Agora integramos termo a termo:
\int -\frac{1}{x}\,dx = -\ln\bigl|x\bigr|,\qquad \int \frac{2}{x^{2}}\,dx = 2\int x^{-2}dx = -\frac{2}{x},\qquad \int \frac{1}{x - 1}\,dx = \ln\bigl|x - 1\bigr|.

Resposta

-\ln\bigl|x\bigr| - \frac{2}{x} + \ln\bigl|x - 1\bigr| + C.

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