Considerando a série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+3}{(\ln n)^{2}}. Determine a alternativa correta:
Escolha uma opção:
A série é convergente pelo Teste da Raiz, pois \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n+3}{(\ln n)^{2}}}=0<1.
A série é convergente pelo Teste da Comparação com a série \sum \frac{1}{n^{2}}.
A série é condicionalmente convergente pelo Teste da Série Alternada, pois os termos alternam em sinal e tendem a zero.
A série é divergente, pois o Teste da Divergência indica que o termo geral não tende a zero.
A série é divergente pelo Teste da Razão, já que \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\infty>1.
A série é condicionalmente convergente pelos Testes da Série Alternada e da Comparação com série exponencial, com soma aproximada de 15.3.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+3}{(\ln n)^{2}}
O conteúdo envolvido é o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral), que diz que se \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, então a série \sum a_n diverge.

Passo 2

Vamos verificar o comportamento do termo geral
a_n = \frac{n+3}{(\ln n)^{2}}
quando n\to\infty. Calculamos
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n+3}{(\ln n)^{2}}

Passo 3

Como o numerador cresce como n e o denominador cresce apenas como (\ln n)^{2}, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{n+3}{(\ln n)^{2}} = +\infty \neq 0.
Pelo Teste da Divergência, se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Resposta

A série é divergente, pois o Teste da Divergência indica que o termo geral não tende a zero.

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